schrijf!

T & R jrg. 2017 aflev. 3
terug


Rekenen

1. Een vat heeft drie kranen: n boven, waardoor per minuut 6 liter water in het vat stroomt, n in het midden, waardoor per minuut 3 liter uit het vat stroomt, en n aan de bodem, waardoor per minuut 2 liter uit het vat stroomt. Als het vat leeg is, kan het in 75 minuten gevuld worden als alle drie de kranen openstaan. In hoeveel minuten kan het gevuld worden, als alleen de bovenste kraan open staat?.

Opl. Gedurende de tijd, dat de onderste helft van het vat gevuld wordt, loopt per minuut 4 liter in het vat. Gedurende de tijd, dat de bovenste helft van het vat gevuld wordt, loopt per minuut 1 liter in het vat. Deze tijden verhouden zich dus als 1 : 4, hun som is 75, dus wordt de onderste helft van het vat gevuld in 1/5 x 75 = 15 minuten. Stond alleen de bovenste kraan open, dus niet de onderste, dan zou die tijd bedragen 4/6 x 15 = 10 minuten. Het hele vat kan door de bovenste kraan derhalve gevuld worden in 2 x 10 - 20 minuten.

2. Men vermenigvuldigt de teller van een onvereenvoudigbare breuk met 3 en deelt de noemer door 4. Het omgekeerde van de breuk, die men daardoor verkrijgt, is 11 37/108 maal zo groot als de oorspronkelijke breuk. Bepaal deze.

Opl. Door de teller met 3 te vermenigvuldigen en de noemer door 4 te delen, wordt de breuk 12 maal zo groot. Als men het omgekeerde van deze breuk deelt door de breuk, krijgt men de tweedemacht van het omgekeerde:
b/a : a/b = b/a x b/a = b2 / a2.
Als men het omgekeerde van deze breuk dus deelt door de oorspronkelijke breuk krijgt men 12 maal genoemde tweedemacht en ook volgens opgave 11 37/108. De tweedemacht is dus 11 37/108 : 12 = 1225 / (12 x 108) en de omgekeerde breuk
√ [1225 / (12 x 108}] = 35/36.
De oorspronkelijke breuk is derhalve 36/35 : 12 = 3/35.

3. Twee personen, P en Q, reizen elkaar tegemoet uit de plaatsen A en B, die a meter van elkaar liggen. Vertrekken ze gelijk, dan verhouden de afgelegde wegen zich bij de ontmoeting als p : q. Vertrekt P t uur vr Q, dan ontmoeten zij elkaar op de helft. Hoe lang doet ieder over de weg?

Opl. In de tweede veronderstelling legt Q de helft van de weg af. Uit de eerste veronderstelling volgt, dat de snelheden van P en Q zich verhouden als p : q. Dus legt P in de tweede veronderstelling na het vertrek van Q af p/q x de helft van de weg = p / 2q van de weg. En daar P in de tweede veronderstelling in het geheel de helft van de weg aflegt, doet hij in t uur 1/2 - p/2q = (q - p)/2q van de weg; de hele weg dus in [2q/(q-p)] x t uur.
Anders. De snelheden van P en Q verhouden zich als p : q. Als Q dus de helft van de weg aflegt, doet P p/2q van de weg. Loopt hij t uur langer, dan doet hij de helft van de weg. Daar in deze twee gevallen de wegen zich verhouden als p/2q : 1/2 = p : q, verhouden ook de tijden zich als p : q. Het verschil van deze tijden is t uur, dus doet P over de helft van de weg [q / (q - p)] x t uur en over de hele weg [2q/(q-p)] x t uur.
Opm.: Bij deze oplossingen hoeven we dus niet te weten dat de weg a meter lang is.

4. A en B gaan uit twee plaatsen P en Q elkaar tegemoet. Vertrekt A 2 uur vroeger dan B, dan ontmoeten ze elkaar 8 3/8 uur na het vertrek van A. Vertrekt A 2 uur later dan B, dan ontmoeten ze elkaar 6 5/8 uur na het vertrek van A. Na hoeveel tijd zullen ze elkaar ontmoeten, als ze gelijktijdig vertrekken?

Opl. Uit het eerste gegeven volgt, dat A en B samen de weg afleggen als A 8 3/8 uur en B 6 3/8 uur loopt.
Uit het tweede gegeven volgt, dat zij samen de weg afleggen, als A 6 5/8 uur en B 8 5/8 uur loopt.
Voegen wij deze gevallen samen, dan blijkt dat zij tweemaal de weg afleggen, als ieder 15 uur loopt. Zij kunnen dus samen de weg afleggen in 15 uur : 2 = 7 1/2 uur.
Anders. Uit de twee eerste alinea's van de vorige oplossing volgt, dat A in 8 3/8 - 6 5/8 = 1 3/4 uur evenveel aflegt als B in 8 5/8 - 6 3/8 = 2 1/4 uur, dus dat de snelheden van A en B zich verhouden als 9 : 7. Nu leggen A en B samen de weg af, als ieder 6 3/8 uur loopt en A nog 2 uur. De afstand, die A in 2 uur aflegt, kunnen zij samen afleggen in 9/16 x 2 = 1 1/8 uur. Zij ontmoeten bij gelijktijdig vertrek elkaar dus na
6 3/8 + 1 1/8 = 7 1/2 uur.

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1900).


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

1. Een rechthoekig veld, lang 2940 meter en breed 990 meter, wordt door 3 sloten in de lengte en 3 in de breedte in 16 gelijke rechthoeken verdeeld, waarvan de lengte gelijk is aan driemaal de breedte. Hoe breed is elke sloot, als ze alle even breed zijn?

2. A en B gingen elkaar tegemoet en vertrokken op hetzelfde ogenblik, A uit P en B uit Q. Na verloop van enige tijd was A nog 5 km van Q verwijderd, terwijl B 12 km meer dan de helft van de weg had afgelegd. Hoe ver waren zij toen van elkaar verwijderd, als men weet, dat A 5 en B 5 km per uur aflegde?

3. Uit P vertrekt op een morgen om 8 uur met een snelheid van 5 km per uur een ruiter en om 10 uur vertrekt er weer een in dezelfde richting met een snelheid van 8 km per uur. Om hoe laat zal de tweede ruiter 1,5 maal zo ver van P zijn, als hij nog van de eerste ruiter verwijderd is?

4. A en B kunnen samen een werk afmaken in 17 1/7 dag, A en C samen in 18 dagen. Eerst werken A en B enige dagen samen, daarna A en C samen 3 dagen, vervolgens C 9 dag, waarna A en B hem het werk in 2 dagen helpen voltooien. A en B hebben nu samen 41 gulden en C 19 gulden verdiend. Hoeveel geld heeft B ontvangen?


Taal

Hoger op

Simon Carmiggelt (1913-1987), wiens eerste (en tevens laatste) roman "Johan Justus Jacob" (1941, herdrukt 1947) aanvangt met de onsterfelijke zin: "Je bent dood voor je 't weet", was een van de belangrijkste Nederlandse auteurs uit de Jaren 50 en 60. Het was een gezellige tijd. Carmiggelt was als het ware de socialistische versie van dat andere literaire icoon, de katholieke Godfried Bomans, en hoe populair beide schrijvers ook waren, niemand kon toch zeggen wie beter was. Werkte Bomans voor de katholieke Volkskrant, die toen het rode licht nog niet had gezien, Carmiggelt schreef onder de naam Kronkel zijn columns, die hij bescheiden "stukkies" noemde, voor het sociaaldemocratische Parool, voortgekomen uit het Verzet dus van onbespoten gedrag. Het was in de tijd, dat niemand nog een computer, laat staan internet had, zodat je voor het nieuws aangewezen was op de informatie die op papier tot je kwam. En je keek er naar uit als de krant met een bekkenslag van de brievenbusklep op de mat viel om te kijken hoe "Kronkel" er vandaag weer over dacht. Zo ging dat in die jaren. Maar er was nog een andere manier om zonder internet aan nieuws te komen. Daarover gaat een van Carmiggelts stukkies dat we hierbij oprakelen.

Die middag stiet ik voor de deur op het nieuwe echtpaar dat maandag boven ons is komen wonen.
'Morgenavond moet u eens komen kennismaken,' zei de man, een uit zijn heupen acterende zoon van zijn vader.
'Graag,' sprak ik.
'Uw vrouw kennen we eigenlijk al uit de stukkies!' riep de dame, met een stem als roze toiletpapier. Ik lachte maar mee, hoewel het pure onzin is. Iedereen weet toch dat mijn stukkies helemaal niet autobiografisch zijn?
'We zijn voor morgen uitgenodigd,' zei ik 's avonds tegen mijn vrouw, maar zij legde de vinger op de lippen en fluisterde:
'Stil, ze hebben ruzie.'
Nu kwam het prachtig uit. De kinderen waren naar een partijtje, waarvan ze pas om tien uur zouden terugkeren en wij hadden niets dringends omhanden. Dadelijk schoven wij dus boeken, couranten, theekoppen en breipennen terzijde en gingen muisstil zitten luisteren, want wij hebben gelukkig allebei een heel lelijk karakter.
'Koeienkop!' riep de vrouw. 'Ga naar je mooie moeder, die me op de begrafenis van je fijne ome zo smerig heeft beledigd. Toe, ga maar. Of moet ik eerst de deur voor je stomme kanus openzetten?'
'Rong rong,' antwoordde de man. 'Rong rong rong rong.'
'Hij is niet te verstaan,' zei ik, gergerd of we in de schouwburg zaten.
'En je mooie broertje met zijn lila dasjes en zijn vieze zaakjes,' schreeuwde de vrouw boven.
'Rong rang,' sprak de man. 'Rong rang rilla.'
'Zo gaat het niet,' fluisterde mijn vrouw. 'Je mist de helft. Laten we het eens in de gang proberen.'
Nou, dat scheelde een heel stuk. De vrouw hoorde je nu of je er naast stond en de man zei duidelijk: 'Je zal je lieve Fritsje bedoelen met zijn rong rang ril rong.'
Er zat duidelijk vooruitgang in.
'We moeten wat hoger zien te komen,' zei ik.
Nu staat er gelukkig een grote rommelkast in onze gang, waar wij zonder al te veel moeite opklommen. Dat was het!
'En wou je soms beweren dat hij niet geweest is, toen ik in London was?' riep de man glashelder.
'Zie je wel?' zei ik, triomfantelijk naast mijn vrouw op de kast gezeten. Ze knikte gelukkig.
'En wat doet meneer de koeienkop in Londen?' klonk het boven.
Nog een vol uur luisterden we geboeid en hoorden een weelde van informatie, die ik om redenen van discretie natuurlijke niet kan oververtellen. Omdat het een hele zit was, haalde ik de thee ook op de kast en een kussen, want mijn vrouw was languit gaan liggen zo vond het zo hard.
Tegen tienen vielen ze stil. Ze waren zeker moe.
'Laten we maar naar de kamer gaan,' zei mijn vrouw, ' 't is afgelopen.'
Ze liet zich op de grond glijden.
'Ik blijf nog even,' zei ik, het kussen onder mijn hoofd leggend. 'Je kunt nooit weten'
'Toe nou de kinderen komen dadelijk thuis,' sprak ze. 'Daar bellen ze al'
Maar toen ze opendeed, was het de bovenbuurman.
'Hebben jullie soms een lichtpenning?' vroeg hij.
Je kon helemaal niet aan hem zien dat hij juist zo'n twist had uitgevochten. Somber zag hij mij daar bij het plafond liggen en zei: 'Hallo.'
'Hallo,' antwoordde ik.
'Ligt u op de kast?' vroeg hij.
'Och ja' zei ik.
'Waarom eigenlijk?' hernam hij.
' 't Is lekker warm,' sprak ik. 'Warmte kruipt altijd naar boven.'
'Dat wel,' zei hij. 'Maar is het niet ongerieflijk?'
' 't Went,' antwoordde ik.
'Vreemde gewoonte,' peinsde hij. 'Dr moest u eens een stukkie over schrijven.'
Maar het stond er al in.

(Uit S. Carmiggelt, "Ping pong", 1954)