schrijf!

T & R jrg. 2017 aflev. 2
terug


Rekenen

1. Hoe laat bedekken de wijzers van een klok elkaar na 12 uur voor de derde maal? En hoe laat staan ze voor de derde maal in elkaars verlengde?

Opl. Om 12 uur staat de grote wijzer boven de kleine. Dit zal voor de eerste maal weer zo zijn, als de grote wijzer 60 boogjes meer heeft afgelegd dan de kleine; voor de tweede maal, als hij 120 boogjes en voor de derde maal als hij 180 boogjes meer heeft afgelegd dan de kleine wijzer.

Als de grote wijzer 12 boogjes aflegt, legt hij er 11 meer af dan de kleine. Hij zal dus 180 boogjes meer afleggen, als hij er zelf (180 : 11) x 12 = 196 4/11 aflegt. Daar hij een boogje doorloopt in 1 minuut, zal het gevraagde plaatshebben 196 4/11 minuut na 12 uur of 16 4/11 minuut na 3 uur.

De minuutwijzer zal voor de eerste maal in het verlengde van de uurwijzer liggen als hij 30 boogjes, voor de tweede maal, als hij 90 boogjes en voor de derde maal als hij 150 boogjes meer heeft doorlopen dan de uurwijzer.

Volgens het bovenstaande zal dit plaatshebben (150 : 11) x 12 = 163 7/11 minuut na 12 uur of 16 4/11 minuut vr 3 uur.

2. Hoe laat is het tussen 4 en 5 uur, als de lijn, uit het middelpunt naar de 3 getrokken, de hoek van de wijzers middendoor deelt?

Opl. Teken een figuur. Van het gevraagde tijdstip tot 5 uur doorloopt de minuutwijzer 45 boogjes + het aantal boogjes, dat deze nog doorlopen moet om naar de 3 te wijzen. De uurwijzer doorloopt dan 10 boogjes - hetzelfde aantal boogjes dat de minuutwijzer meer dan 45 doorloopt. Samen doorlopen ze dus 55 boogjes en de minuutwijzer derhalve 12/13 x 55 = 50 10/13 boogje. Hij heeft na 4 uur dus afgelegd 60 - 50 10/13 = 9 3/13 boogje; het is dan 9 3/13 minuut over 4.

Anders. De hoek tussen de lijn 12 en de minuutwijzer is 12 maal de hoek tussen lijn 4 en de uurwijzer. Hieruit en uit de gelijkheid van de hoeken tussen lijn 3 en beide wijzers volgt door optelling, dat de hoek van 15 boogjes gelijk is aan de hoek van 5 boogjes + 13 maal de hoek tussen lijn 4 en uurwijzer. Dus is 13 maal de hoek tussen lijn 4 en uurwijzer een hoek van 10 boogjes of de uurwijzer heeft na 4 uur een hoek doorlopen van 10/13 boogje. Dit doet hij in 12 x 10/13 = 9 3/13 minuut. Het gevraagde tijdstip is dus 9 3/13 minuut over 4.

Nog weer anders. Om 4 uur staat de minuutwijzer op 12, de uurwijzer op 4, een wijzer, die de hoek tussen de genoemde wijzers middendoor deelt, op 2. Gaan minuutwijzer en uurwijzer met hun gewone snelheid vooruit, dan kan men de derde wijzer een zodanige snelheid geven, dat hij steeds de hoek tussen de andere wijzers middendoor deelt. Als de minuutwijzer dan 12 boogjes doorloopt en de uurwijzer dus 1 boogje, moet de derde wijzer er (12 + 1) : 2 = 6 doorlopen. Op het gevraagde tijdstip zal de derde wijzer op 3 moeten staan, na 4 uur dus 5 boogjes afleggen, de minuutwijzer dus (12 : 6) x 5 = 9 3/13 boogje. Het gevraagde heeft dus plaats 9 3/13 minuut over 4.

3. Van een getal is de som der cijfers 35 en de laatste drie cijfers vormen het getal 357. Wat zal er overschieten, als dit getal door 24, en wat, als het door 36 gedeeld wordt?

Opl. Daar 357 een 8-voud + 5 is, is het getal ook een 8-voud + 5. Omdat de som der cijfers van het getal 35 is, dus een 3-voud + 2, is het getal ook een 3-voud + 2 of een 3-voud + 5. Als het getal dus met 5 wordt verminderd, is het een 8-voud en een 3-voud, derhalve een 24-voud. Door 24 gedeeld laat het getal dus 5 over.

Daar 57 een 4-voud + 1 is, is het getal ook een 4-voud + 1. En omdat de som der cijfers van het getal 35 is, is het getal een 9-voud + 8. Om hier dezelfde rest te krijgen kunnen we ook zeggen een 4-voud + 17 en een 9-voud + 17 is. Als we het getal met 17 verminderen, wordt het dus een 4-voud en een 9-voud of een 36-voud. Door 36 gedeeld, geeft het getal derhalve 17 tot rest.

4. Als 3a + 5 bij deling door 12 tot rest laat 2, wat is dan de rest van de deling van
3a2 - 17 door 24?

Opl. We hebben als we 3a + 5 gelijk stellen aan 12p + 2 achtereenvolgens:
3a + 5 = 12p + 2, dus 3a = 12p - 3 of a = 4p - 1 of a = 16p - 8p + 1, dus
3a = 48p - 24p + 3 en 3a - 17 = 48p - 24p - 14 is een 24-voud - 14 is een
24-voud + (24 - 14) is een 24-voud + 10.
Als we dus 3a - 17 door 24 delen, is de rest 10.

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1900).


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

1. Een vat heeft drie kranen: n boven, waardoor per minuut 6 liter water in het vat stroomt, n in het midden, waardoor per minuut 3 liter uit het vat stroomt, en n aan de bodem, waardoor per minuut 2 liter uit het vat stroomt. Als het vat leeg is, kan het in 75 minuten gevuld worden als alle drie de kranen openstaan. In hoeveel minuten kan het gevuld worden, als alleen de bovenste kraan open staat?.

2. Men vermenigvuldigt de teller van een onvereenvoudigbare breuk met 3 en deelt de noemer door 4. Het omgekeerde van de breuk, die men daardoor verkrijgt, is 11 37/108 maal zo groot als de oorspronkelijke breuk. Bepaal deze. .

3. Twee personen, P en Q, reizen elkaar tegemoet uit de plaatsen A en B, die a meter van elkaar liggen. Vertrekken ze gelijk, dan verhouden de afgelegde wegen zich bij de ontmoeting als p : q. Vertrekt P t uur vr Q, dan ontmoeten zij elkaar op de helft. Hoe lang doet ieder over de weg?

4. A en B gaan uit twee plaatsen P en Q elkaar tegemoet. Vertrekt A 2 uur vroeger dan B, dan ontmoeten ze elkaar 8 3/8 uur na het vertrek van A. Vertrekt A 2 uur later dan B, dan ontmoeten ze elkaar 6 5/8 uur na het vertrek van A. Na hoeveel tijd zullen ze elkaar ontmoeten, als ze gelijktijdig vertrekken?


Taal

Het volkomen huwelijk

Met de suggestieve kracht van de tekst heb je geen pornografische afbeeldingen meer nodig. Dat zo ongeveer zei Simon Carmiggelt in de Jaren 50 en vr hem, in de Jaren 30 al, Menno ter Braak, van wie we altijd al vermoedden dat hij zich verlustigde aan vieze boekjes. Zou mevrouw Voortgans gedacht hebben dat het een roman was, getuige haar mededeling "als ik het uit heb ..."? Leuke tijd trouwens, de Jaren 50. Telefoons hadden een kiesschijf in plaats van al dan niet fysieke druktoetsen en de Hollerith-machine was een voorloper van de computer en werkte op ponskaarten en er waren nog antiquariaten die boeken voor 1 gulden verkochten zoals het werk van Ter Haar, dat overigens echt bestaat en op de veiling in de jaren 80 ("standaardwerk") al 100 gulden moest opbrengen. Waarvan acte.

In de etalage van de tweedehandsboekwinkel lag een exemplaar van 'Het volkomen huwelijk', een soort erotische catalogus voor de doorwrochte minnaar, indertijd tot veler verontwaardiging uit de pen van dr. Th. H. van de Velde gevloeid, die eens door Menno ter Braak werd aangeduid als 'een kruising tussen een seksuoloog en een gymnastiekleraar'. Jaren geleden bezat ik het leerzame werk, dat Amor zonder compassie door de Hollerith-machine haalt, maar ik leende het zo vaak uit aan belanghebbenden, dat het ten slotte niet meer bij me terugkwam. Daar het hier voor een zacht prijsje te koop was ging ik binnen om een lang gevoeld gemis te vullen.
 'Ik wou dat boek dat u daar hebt liggen,' zei ik tegen de man die naar voren was komen sloffen.
Zwijgend liep hij met me naar de etalage en opende de deuren.
 'Welk boek bedoelt u?' vroeg hij.
Toen ik net wilde wijzen, werd er op de winkelruit getikt.
Buiten stond mevrouw Voortgans en wuifde enorm naar me. Ze is een enthousiaste dame, gehuwd met een smal, stil mannetje, dat er uitziet of hij, alleen thuis, expres doelloos aan de nummerschijf draait. Waarschijnlijk zat hij dat op het moment te doen want ze was alleen en wipte dadelijk de zaak binnen om mij te bedelven onder haar matriarchale geestdrift. Want ze prijst alles wat ik doe en nalaat met zulk een verve, dat zo'n gesprek me altijd voor een hele week oppompt.
 'Weer met de neus in de boeken, h?' riep ze uit. 'Wat is u toch een studieuze geest. O, ik zeg zo vaak tegen mijn man: hij moet zeer, zr veel weten.'
 'Kom, kom, mevrouw' zei ik maar.
Er viel een enge stilte.
 'Welk bedoelt u?' persisteerde de boekenman ter zake.
Opeens vond ik het smerig, dat seksuele naslagwerk aan te wijzen onder het warme, positieve toezien van mevrouw Voortgans. Misschien zou het een knak slaan in het puntgave beeld dat ze van mij had. 'Zo, leest u zulke boeken ook?' Ik besloot de transactie uit te stellen tot ze weg was.
 'Dit,' zei ik en wees zolang op een boek dat er naast lag.
 'Alstublieft,' sprak de man.
Het heette Onze vlinders en was geschreven door de heer D. ter Haar.
 'Gunst, wat enig,' riep mevrouw Voortgans. 'Ik wist helemaal niet dat u daar ook interesse voor had.'
 'O ja, vlinders nu!' zei ik, bladerend. Het boek stond vol platen van griezelige gedrochten, die onnodig uit gaatjes kropen.
 'Mijn man en ik hebben ze jarenlang verzameld,' vervolgde ze. 'We hebben prachtige dikkopjes. Houdt u van dikkopjes?'
 'Ja, dat vind ik wel leuke beestjes,' zei ik.
Ze knikte weer zo warm. Ik bladerde maar door.
 'Het kost een gulden,' meldde de boekenman droog.
 'Kijk, het koolwitje,' riep mevrouw Voortgans teder.
 'Ja,' zei ik, de afbeelding welwillend bekijkend.
De winkelier wendde zich tot haar.
 'Waarmee kan ik u van dienst zijn, mevrouw?' vroeg hij.
 'Ik wou dat boek van Van de Velde hebben. 'Het volkomen huwelijk',' antwoorde ze.
Toen hij het voor haar inpakte zei ze tegen mij:
 'Dat is een erg interessant werk. Kent u het?'
 'Nee,' antwoordde ik.
 'Nou, als ik het uit heb, zal ik het u eens lenen,' beloofde ze.
 'Goed,' zei ik, 'en dan leen ik u 'Onze vlinders' van Ter Haar.'

(Uit S. Carmiggelt, "Ping pong", 1954)