schrijf!

T & R jrg. 2016 aflev. 1
terug


Rekenen

1. Als men bij de teller van een zekere breuk 2 optelt en de noemer met 1 vermenigvuldigt, blijft de waarde gelijk. De noemer is 7 meer dan de teller. Welke breuk is dat?

Opl. (x + 2) : 5/4y = x : y en y = x + 7
xy + 2y = 5/4xy
xy - 2y = 0
xy - 8y = 0
x(x + 7) - 8(x + 7) = 0
x = -7 en x = 8 dus
y = 0 (valt af) en y = 15
dus de breuk was 8/15.

2. Als men de teller van een breuk door 3/5 deelt en de noemer met 4/5 vermenigvuldigt, krijgt men een breuk, die van de oorspronkelijke 13/40 verschilt. Wat is de oorspronkelijke breuk?

Opl. 5/3x / 4/5y - x/y = 13/40
25x/12y - 12x/12y = 13x/12y = 13/40.
x/y = 13/40 × 12/13 = 3/10.dus de oorspronkelijke breuk was 3/10.

3. Bewijs dat de som van n op elkaar volgende getallen deelbaar is door n, als n oneven is.

Opl. De som is (2n+1){a + a + (2n+1-1).2} = .(n + )(2a + 4n) = (2n + 1)(a + n).
2n + 1 is altijd oneven, dus het product is deelbaar door een oneven getal.

4. Van P naar Q en ook terug rijden om het uur trams met gelijke snelheden. Een voetganger, die gelijkmatig van P naar Q wandelt, wordt op die weg elke 80 minuten door een tram uit P ingehaald. Om de hoeveel minuten zal hij trams die van Q komen ontmoeten?

Opl. Bleef de voetganger, nadat een tram hem had ingehaald of ontmoet, stilstaan, dan zouden de volgende trams hem telkens na verloop van een uur passeren. Nu hij gelijkmatig voortwandelt, wordt hij elke 80 minuten door een tram ingehaald. De weg, die hij dus in 80 minuten aflegt, doorloopt de tram in 20. De laatste heeft dus een viermaal zo grote snelheid.
Stond de wandelaar stil, zoals gezegd, dan passeren de trams uit Q hem om het uur. Nu hij ze evenwel tegemoet loopt, ontmoet hij ze binnen het uur. De afstand immers, die anders de tram alleen per uur aflegt, doorlopen ze nu samen en wel in 4/5 uur of 48 minuten. De wandelaar ontmoet dus om de 48 minuten een tram die uit Q komt.

5. Een aannemer neemt een zeker werk aan, dat door 32 man in 10 weken kan worden afgemaakt. Eerst laat hij 4 weken lang 30 man er aan werken, neemt er daarna 10 man bij en zendt na enkele weken de helft van deze 40 man naar een ander karwei, zodat het werk juist op tijd af is. Hoe lang hebben de laatste 20 man alleen gewerkt?

Opl. Er is werk voor 32 man gedurende 10 weken. Nu zijn 20 man steeds aan het werk geweest. Trekken we wat deze 20 man afmaken van het werk af, dan blijft er over werk voor 12 man gedurende 10 weken.
Deze rest kan afgemaakt worden door 10 man gedurende 4 weken en nog 20 man gedurende een onbekend aantal dagen. Wat 10 man in 4 weken afmaken is gelijk aan wat 12 man in 10/12 x 4 = 3 1/3 week afmaken. Dus is hetgeen 20 man in het onbekende aantal dagen afmaken, gelijk aan wat 12 man in 6 2/3 week of 20 man in 12/20 x 6 2/3 = 4 weken afmaken.
Hieruit blijkt dus, dat de 30 man 4 weken, de 40 man ook 4 weken en de 20 man dus 2 weken gewerkt hebben.

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1900.)


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

1. Als een getal eindigt op een 5 en het cijfer van de tientallen is even, dan eindigt de derde macht van dat getal op 125 of 625. Bewijs dat. En in welk geval op 125 en waarom?

2. Als van twee producten de som van de vermenigvuldigtallen en het verschil van de vermenigvuldigers deelbaar zijn door hetzelfde getal, dan is ook de som van die producten deelbaar door dit getal. Bewijs dat.

3. Van een getal van drie cijfers is het cijfer van de tientallen gelijk aan het cijfer van de eenheden. Wordt het cijfer van de honderdtallen erachter geplaatst, dan wordt het getal 4703 groter. Welk getal was dat?

4. Als men van drie gehele getallen, die met 2 opklimmen en waarvan het middelste groter is dan 6, het product van het eerste en het tweede door het derde deelt, dan is de rest van de deling 8. Toon dit aan.

5. Om een rechthoekig plein, waarvan de lengte 20 m groter is dan de breedte, ligt een bestrating, die langs de kortste zijden van het plein driemaal zo breed is als langs de lengte-afmetingen. De buitenomtrek van de bestrating is 80 m groter dan de omtrek van het plein en de oppervlakte is 29/44 van die van het plein. Wat zijn van beide de afmetingen?

(Naar diverse examens, ca. 1900).


Taal

Pieter van Ligten: Parabel (voor wie hem nog niet kent)

Een man zat gevangen in een donkere, muffe kerker. Hij had geen lectuur, geen schrijfmateriaal, zelfs niet eens een fatsoenlijk bed. Er stond erg weinig in zijn cel, bijna niets. Op gezette tijden werd een klein vierkantje van de grote ijzeren deur losgegrendeld en kreeg hij langs die weg het karige slechtgekookte eten toegeschoven. De man zat er al lang gevangen. Hij was uitgeput van verveling en voelde hoe de waanzin gestadig het bolwerk van zijn bewustzijn ondermijnde.

Tot plotseling zijn blik viel op een paar mieren die tussen het gruis op de vloer door kropen. Nauwelijks kon hij de blijdschap aan: hij besloot de diertjes te temmen, ze kunstjes aan te leren. Na ontzaglijke inspanning gelukte het hem de mieren koppetje te laten duikelen, haasje over te laten springen.

Van restanten broodkruimeltjes had hij een hoepeltje gemaakt en een miniatuurtrompet. En mier werd zijn lievelingetje. Het kon heel goed koppetje duikelen, sprong sierlijk door het eigengemaakte hoepeltje en als hij met zijn vingers knipte, blies het beestje op zijn miniatuurtrompet. Hij was heel trots op zijn mier; zij plaatste de kroon op zijn moeizame arbeid.

Niet lang daarna kwam de man vrij. Hij verborg zijn lievelingsmier onder de revers van zijn colbert, stopte de zelfgemaakte attributen in zijn zak en stapte de straat op, de vrijheid in.

Op de hoek van de straat stond een groot restaurant dat door zijn heerlijke geuren de voorbijgangers op zijn exquise keuken opmerkzaam maakte. De man had geen geld, maar hij kon de verleiding niet weerstaan. Hij ging er binnen en bestelde een kop soep. De soep kwam. Begerig wilde hij toetasten, maar kwam tot bezinning. Was hij niet een eerlijk mens? Ach, misschien zou de ober vertederd worden, wanneer zijn lievelingsmier haar kunstjes vertoonde.

- Ober, riep de man. De ober kwam. De mier maakte sierlijke salto's, sprong door het eigengemaakte hoepeltje; De man knipte met zijn vingers en het diertje blies alleraardigst op het miniatuurtrompetje.
- Ziet u wel, knikte de man stralend.
- Neem me niet kwalijk, meneer, zei de ober en hij wreef met zijn duim de mier dood.

(Uit: Pedagogen Post no. 69/70 sept./okt. 1963. PP was de schoolkrant van de Rijkskweekschool, Koningin Emmakade 36 in Den Haag.)

Ook dat nog

1. "Intern had Feyenoord-trainer Giovanni van Bronckhorst zijn aanvallers Eljero Elia en Michiel Kramer al aangesproken op hun gedrag, dat leidde tot twee tuchtrechtspraken." ("De Telegraaf", 24 oktober 2015). Verschil in betekenis tussen dat en wat.
2. "Jan Peter Balkenende. De man die Nederland nodig had" (Kop boven artikel in "Elsevier", 24 oktober 2015.) Had Jan Peter Nederland nodig of Nederland hem?
3. "Er gaat hierdoor echt geen mens meer naar het schaatsen kijken." ("De Telegraaf", 7 januati 2016). Een mens erbij of helemaal niemand?