schrijf!

T & R jrg. 2015 aflev. 2
terug


Rekenen

1. Twee machten van hetzelfde getal, waarvan de exponenten 4 verschillen, eindigen op hetzelfde cijfer. Bewijs dit.

Opl. ap, ap+4, ap+8 enz. vormen een meetkundige reeks met de reden a4. Dan geldt voor de reeks 2, 22, 23, 24, 25 dus 2, 4, 8, 16 en 32 de reden 24 = 16. Het product van een term uit deze reeks en 6 (het eindcijfer van 16) eindigt op het eindcijfer van die term, immers 2x6 eindigt op een 2, 4x6 op een 4, 8x6 op een 8, 16x6 op een 6 enz. Dat komt doordat het product van 5 en een even getal altijd eindigt op een 0, zodat 6 x dat getal (= 5x dat getal + 1x dat getal) op het eindcijfer van dat getal eindigt.
Voor de reeks 3, 9, 27, 81, 243 enz. is de reden 34 = 81; alle termen 4 verderop eindigen hier op hetzelfde cijfer als de voorganger 4 termen terug vanwege eindcijfer 1 van de reden.
De reeks van 4, 16, 64, 256, 1024, eindcijfer reden 6, heeft dezelfde eigenschap als de reeks van 2 (4x6 eindigt op 4, 6x6 op 6, enz.).
Van de reeks van 5 eindigen alle termen op 5 en het product met de reden 625 dus ook.
Alle termen van de reeks van 6 eindigen, evenals de reden, op een 6; de producten dus ook.
De reeks van 7 heeft als reden 2401, zodat daarvoor hetzelfde geldt als voor de reeks van 3.
De reeks van 8, 64, 412, 4096, 32768 heeft als reden 4096, zodat daarvoor hetzelfde geldt als voor de reeksen van 2 en 4: (eindcijfer) 8x6=8, 4x6=4, 2x6=2; 6x6=6; 8x6=8.
De reeks van 9 heeft als reden 6561, zodat daarvoor hetzelfde geldt als voor de reeksen van 3 en 7.

2. Een getal van drie cijfers is deelbaar door 9 en door 11. Welk cijfer staat in het midden?

Opl. Een getal dat deelbaar is door 9 en door 11 is deelbaar door 99; het kleinste 99-voud van drie cijfers is dus 198, het volgende 297 en het grootste 990. Dat er alrijd een 9 in het midden staat komt doordat dit cijfer steeds het resultaat van de som van 9+9+1 is. Of dat de tientallen altijd een negenvoud zijn, bijv. 99 x 2 = (100 - 1) x 2 = 200 - 2 = 198 of 99x8 = (100 - 1) x 8 = 800 - 8 = 792.

3. Hoe groot is de som der getallen tussen 100 en 1000, die bij deling door 7 zes en bij deling door 5 twee overlaten?

Opl. Een getal dat door 7 gedeeld zes overlaat is te schrijven als 7x + 6 en een getal dat door 5 gedeeld 2 overlaat als 5y + 2 zodat 7x + 6 = 5y + 2 of 7x - 5y = - 4 waaruit x = 3 en y = 5, dus
7x + 6 = 27
5y + 2 = 27
Deze twee vervangen we nu door een term die een getal voorstelt dat gedeeld door 7 een rest van 6 geeft en gedeeld door 5 een rest van 2. 27 is inderdaad het kleinste getal dat voldoet. In n formule: 35z + 27.
Het eerste getal na 100 is 132 (z = 3); het laatste vr 1000 972 (z = 27). We hebben dus een rekenkundige reeks met het verschil 35 waarvan n volgt uit 972 = 132 + (n - 1) 35; n =:25, zodat de som is x 25(132 + 972) = 13800.

4. A, B en C maaien tezamen, in een zekere tijd, een veld graan; A zou het alleen hebben kunnen doen in 9 7/9 uur meer, B in de helft van de tijd, die A daartoe nodig heeft, en C in een uur minder dan B. In welke tijd maaiden zij tezamen het veld graan?

Opl. Stel de gezamenlijke werkduur op x uur, zodat dus per uur 1/x van het werk gereed is.
A alleen doet dan per uur 1 / (x + 9 7/9) = 9 / (9x + 88),
B alleen 1/( x + 4 8/9) = 18/(9x+88) en
C alleen 1/( x + 3 8/9).= 18/(9x+70).
In gezamenlijkheid per uur dus 27/(9x+88) + 18/(9x+70) = 1/x waaruit na enig rekenen
81x2 + 513x - 1540 = 0 tevoorschijn komt met de bruikbare positieve wortel x = 20/9 = 2 2/9, zijnde de totale duur in uren bij gezamenlijke uitvoering door A, B en C.

5. Hoe laat zullen de uur- en minuutwijzers van een horloge, na twaalf uur, het eerst juist tegenover elkaar staan?

Opl. Als de wijzers in elkaars verlengde staan, sluiten ze een halve cirkel = uur = 180 graden af. Om half een staat de kleine wijzer halverwege tussen 12 en 1 in en de grote op de 6. Aangezien 5 minuten overeenkomt met 360 : 12 = 30 graden, is het verschil tussen de grote wijzer en de kleine dan 15 + 5 x 30 = 165 graden en dit moeten er 180 worden. De grote wijzer vordert per minuut 6 graden, maar omdat de kleine per minuut graad in dezelfde richting opschuift, is de netto aanwas 5 graad per minuut. Noem het aantal minuten dat de grote wijzer vordert om 180 graden te bereiken n, dan is 165 + 5 n = 180, dus n = 2 8/11 en het tijdstip dat de wijzers in elkaars verlengde staan
2 8/11 minuut over half een.

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1890)


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

1. Wat is het grootste getal beneden 20000, dat bij deling door 9 zeven en bij deling door 10 drie tot rest laat?.

2. Bepaal het kleinste getal, dat door 7 gedeeld 3, door 11 gedeeld 2, door 13 gedeeld 6 en door 17 gedeeld 1 tot rest laat.

3. Welk is op n na het kleinste getal, dat door 3, 4 en 5 deelbaar is en, als men het door 29 deelt, 10 tot rest geeft?

4. Twee punten bewegen zich gelijktijdig over de benen van een rechte hoek van uit het hoekpunt. Het ene, dat 10 seconden later begint te bewegen dan het andere, legt iedere seconde 12 m, het andere elke seconde 3 m af. Na hoeveel seconden zijn beide punten 75 m van elkaar verwijderd?

5. Een reservoir, waaruit regelmatig een hoeveelheid water stroomt, kan, als het half vol is, door een machine in 8 dagen geheel gevuld worden. Twee van zulke machines doen dat werk in 3 dagen. Welk deel van de gehele inhoud van het reservoir stroomt er per dag uit?
(Examen Hoofdacte, Den Haag, 1892).


Meetkunde

Na rekenen bij wijze van uitzondering dit keer iets over meten, en wel over dat (bijzonder aardige) vraagstuk waarbij bewezen moet worden, dat wanneer in een driehoek twee bissectrices (hoezo eigenlijk met dubbel-s?) gelijk zijn, die driehoek gelijkbenig is. Zo dus:

Het vraagstuk blijkt, zoals elk vraagstuk natuurlijk, een rijke historische achtergrond te hebben. Professor Bottema (1901-1992, dezelfde die naar het schijnt de examenopgaven wiskunde van de HBS-B verzon) wijdde er zelfs een artikel in "Euclides" aan, alhoewel hij tamelijk badinerend begint:

Maar ook in Nederland zelf werd in de 19de eeuw aan een bewijs voor dit vraagstuk gewerkt, en wel door de leden van het Wiskundig Genootschap "Een Onvermoeide Arbeid Komt Alles Te Boven". Ze gaven een tijdschrift uit, waarin deze bewijzen zijn gepubliceerd, achtereenvolgens in de reeks van 1855-59, van 1866-70 en van 1870-74. Dit zijn ze:

Dan nog twee bewijzen uit het boek "Over methoden bij het oplossen van Meetkundige Vraagstukken" van J. Versluys (1845-1920), die van grote betekenis is geweest voor het onderwijs in de wiskunde hier te lande rond de vorige eeuwwisseling. Twee bewijzen dus, het eerste meetkundig, en het tweede algebrasch.

Ten slotte nog twee soortgelijke bewijzen uit "Vlakke meetkunde voor voortgezette studie" van P. Wijdenes:


Taal

Vorige keer bespraken wij twee van de vroegste taaladviesboeken, waaronder het nog steeds bekendste, dat van Charivarius: "Is dat goed Nederlands?", wat volgens taalgeleerde prof. Royen bepaald niet het geval bleek te zijn. Dat gold ook voor het andere, "Goed gezegd zo!" van J.C. van Wageningen, die ng een taaladviesboek publiceerde, waaraan wij hieronder aandacht willen schenken, met nog een ander, heel opmerkelijk, dat zelf geen adviesboek wil heten, maar het wel degelijk is.

Maar eerst Van Wageningen met "Even tijd voor .... onze taal!", uitgegeven te Leiden bij Sijthoff in 1946. Het is nog net gevat in de oude spelling (die in 1947 zou worden vervangen door de nieuwe) en telt 176 bladzijden. Een inhoudsopgave ontbreekt, en dat maakt het boek niet echt geschikt als naslagwerk. Het is opgedeeld in 25 hoofdstukken die van geestig bedoelde kopjes zijn voorzien evenals de hoofdstukjes, waarin ze weer zijn onderverdeeld. Het boek besluit dan met wat lange tijd als de vreselijkste aller taalzonden werd beschouwd: het barbarisme en dan met name het germanisme. Omdat taal tegenwoordig vooral wordt gezien als een levend organisme dat groeit en krimpt en zich conform linkse politiek niet mag afsluiten voor invloeden van buitenaf, hoort men daarover weinig meer, een enkele ingezonden brief in de krant die zich ergert aan "sale" voor "uitverkoop" daargelaten. De Franse filosoof Alain Finkelkraut zei het al: "In onze tijd is verandering tot waarde verheven. Verandering kan ook een stap terug zijn. De taal verandert. Wordt het vocabulaire rijker, de grammatica strikter? Nee, daar gaat het niet om, want er is verandering. Die idealisering van de verandering is een vorm van nihilisme."

Onder het motto Van-alles-en-nog-wat spit Van Wageningen door onze taal heen. Het is een curieuze verzameling van echte en veronderstelde fouten geworden. Iets kan alleen maar goed zijn, of fout. Daartussen is niets of althans geen ruimte voor argumentatie of rede. Zo meent hij dat in de zin "Ik heb uw voorstel overwogen en heb besloten het aan te nemen" het tweede "heb" niet mag worden weggelaten, zodat ontstaat "Ik heb uw voorstel overwogen en besloten het aan te nemen", omdat je dan zou denken dat "het" voor "uw voorstel" staat; "het aan te nemen" is echter een soort lijdend voorwerp, een lijdendvoorwerpszin genoemd (Wat is besloten? Antwoord: het aan te nemen) en is dus een ander lijdend voorwerp dan "uw voorstel" (Wat is overwogen? Antwoord: uw voorstel) in de eerste deelzin. Een andere filosoof, Frits van Egters, zei het ook al: "We zien hieruit, dat men eenvoudige dingen met geringe middelen ingewikkeld kan maken."

De Taalclub

Af en toe besteedt radio of televisie aandacht aan onze taal. Zo was er in de oorlogsjaren het wekelijkse radioprogramma "De Taalclub" (seizoen 1941/42 en 1942/43) waarin een taalfamilie onder leiding van journalist en dichter Yge Foppema alias Herman Schrijver allerlei taalproblemen besprak. Wim Sonneveld speelde er een zoon in en kinderboekenschrijver A.D. Hildebrand (auteur van o.m. het legendarische hoorspel "Monus, de man van de maan" uit de Jaren 50) een graag geziene huisvriend. Waren deze lieden nu allen "fout"? Eigenlijk wel, of in ieder geval een beetje. Je kon je natuurlijk gedurende die vijf bezettingsjaren niet helemaal in het luchtledige oplossen (misschien is wegmoffelen een toepasselijker benaming) en Foppema (1901-93) werd zelfs zes weken gedetineerd, omdat hij in 1943 in de Haagsche Post volgens de Duitsers iets dubbelzinnigs had geschreven. Bij de omroep was er toen voor hem geen plaats meer. Het betekende gelijk het einde van de Taalclub, want zonder hem als gezinshoofd hadden de andere leden er geen trek meer in.

Naast het radioprogramma was er ook een 172 bladzijden tellend boek: "Onze Eigen Taal, Handboek van de Taalclub". Het verscheen in 1943 bij NSB-uitgeverij De Schouw in Den Haag, maar met de inhoud is daarentegen weinig mis. Het begint al ontspannen:

"Dit boek is geen taalboek ... Het heeft een bescheidener bedoeling. Het wil u helpen, beter Nederlands te spreken en te schrijven. Beter Nederlands: dat wil zeggen dat het er van uitgaat dat u reeds Nederlands kent. U kent Nederlands doordat het uw moedertaal is, de taal die u van jongs af hebt gehoord. Wat men op die manier kent, is niet weinig. Zelfs iemand die nooit lezen en schrijven heeft geleerd, beschikt niet alleen over een min of meer uitgebreide woordenschat, maar weet ook hoe hij de woorden moet rangschikken om zinnen te krijgen waarmee hij zijn bedoelingen duidelijk uitdrukt.
(...)
Verder bevatten de gewone taalboeken nog allerlei dat tot het gebied van de taalkunde behoort. Taalkunde is een heel nuttig vak voor wie wat dieper in het wezen van de taal wil doordringen, maar wie eenvoudig goed Nederlands wil schrijven - en verreweg de meeste mensen verlangen niet meer dan dit - hoeft helemaal niet te weten wat een bepaling van gesteldheid is en hoe men een voornaamwoordelijk bijwoord van een voegwoordelijk bijwoord onderscheidt."

Na deze bemoedigende woorden volgt nog de geruststelling:

"Tijdens de uitzendingen van de Taalclub is n ding wel heel duidelijk gebleken: er worden meer taalfouten gemaakt uit onbegrepen of verkeerd begrepen taalgeleerdheid dan uit taaldomheid."

Begon elk boek maar zo! We zouden er nog een waarheid aan kunnen toevoegen: van je fouten leer je het meest. En van dat principe wordt in dit boek volop gebruikgemaakt. Zo wordt in kolommen goed tegenover fout gesteld, en worden foutieve formuleringen rood doorgestreept (een trouvaille, die door het hele boek wordt volgehouden).

Een van de aardigste hoofdstukken is "Taalbedervers" over barbarismen. Helaas wordt in het midden gelaten of het germanismen, dan wel anglicismen of gallicismen betreft en dat is wel wat lastig voor wie wat meer over de achtergrond wil weten. "We zullen deze namen niet gebruiken omdat het er niet toe doet waar een barbarisme vandaan komt; het is geen goed Nederlands, en dat is alles, wat we hoeven te weten", schertst het boek luchtig. In werkelijkheid mocht de Duitse bezetter natuurlijk niet voor het hoofd gestoten worden. Want die zou al gauw met het ijzersterke argument komen, dat Goethe en Schiller toch waarachtig geen kleine jongens waren, en die voelden zich niet te groot om gewoon in het Duits te schrijven. Voor de populariteit van de Taalclub maakte het niet uit: het was een van de meest beluisterde programma's van de gelijkgeschakelde "Nederlandsche Omroep".

Het boek van de Taalclub besluit met een handige lijst van "moeilijke" woorden met verwijzing naar de betreffende bladzijde: geen woorden, waarvan men de betekenis niet kent, maar woorden "waaromtrent in enig opzicht twijfel kan bestaan".

Ook dat nog

1. Vraag een politicus ergens een mening over en er is een goede kans dat het antwoord begint met: "Wat je ziet is dat ..."
2. Vaak gehoord in toenemende mate: het meervoud van "reden" wordt ook reden genoemd in plaats van redenen: "Een van de reden dat je er niets meer over hoort is dat ..."
3. "Er zijn niet veel politici die langer hebben gezeten dan Opstelten." ("De Telegraaf", 18-1-2015).
4. "Ik was toen al in het bezit van enige vergiftigde sigaren, die ik bij een misdadiger gevonden had, die ze voor noodgevallen bij zich droeg." (Walter S. Masterman, De wreker slaat toe, p. 232). Was de misdadiger een vrouw?
5. "De vingertoppen van [doelman] Nordfeldt zitten er nog aan." (commentaar Philip Kooke bij voetbalwedstrijd Heerenveen-Willem II, 25-4-2015). Aan z'n vingers of aan de bal?
6. "Gefloten voor een overtreding door Makkelie." (commentaar bij tv-registratie van Vitesse-Utrecht, 17-5-2015). Maakte Makkelie de overtreding of was hij scheidsrechter?