schrijf!

T & R jrg. 2015 aflev. 1
terug

REKENEN

1. Twee vaten, A en B, bevatten ieder een mengsel van water en wijn, A in verhouding van 2 tot 3, B in verhouding van 3:7. Hoeveel liter moet men uit ieder vat nemen, om een mengsel te bereiden, dat bestaat uit 20 liter water en 44 liter wijn?

Opl. Stel dat uit vat A x liter van de benodigde hoeveelheid gewonnen moet worden en uit vat B y liter, dan bevindt zich daarvan in vat A 2/5x liter water en 3/5x liter wijn en in vat B 3/10y liter water en 7/10y liter wijn. Zodat
2/5x + 3/10y = 20
3/5x + 7/10y = 44
waaruit x = 8 en y = 56.
Uit vat A moet men dus 8 liter van het mengsel nemen en uit vat B 56.

2. Zoek het kleinste geheele getal, dat, gedeeld door 125, den derdemachts wortel van 729 tot rest geeft, en, verminderd met den derdemachts wortel van 125, juist door 729 deelbaar is.

3. Hoe groot is de som der getallen kleiner dan 4000, die door 4, 5 en 6 deelbaar zijn, maar door 17 gedeeld één tot rest laten?

Opl. Het kleinste getal, dat zowel door 4, 5 en 6 deelbaar is, is het KGV van deze getallen, zijnde 60; we zoeken dus een 60-voud, dat verminderd met 1 deelbaar is door 17, zodat we hebben 60x - 1 = 17y. We krijgen dan een onbepaalde vergelijking:
60 x - 17 y = 1
17y = 60x -1
17a = 9x -1
a = 1 x = 2 dus y = 9.
De oplossing luidt dus:
x = 2 + 17t
y = 9 + 60t.
We vinden dan voor 60x achtereenvolgens 60 x 2 = 120, 60 x 19 = 1140, 60 x 36 = 2160 en 60 x 53 = 3180. Omdat 60 x 70 = 4200 groter is dan 4000, is de gevraagde som 120 + 1140 + 2160 + 3180 = 6600.

4. Het product van vier op elkaar volgende getallen, vermeerderd met 1, geeft altijd een kwadraat. Toon dit aan.

Opl. Noem de getallen a, a+1, a+2 en a+3. Het product hiervan, vermeerderd met 1,
a4 + 6a3 + 11a2 + 6a + 1, kan worden ontbonden in (a2 + 3a + 1)2 en is derhalve een kwadraat.

5. Een getal van 4 cijfers te vinden, dat gelijk is aan de 3de macht van de som der cijfers.

Opl. De kleinste derde macht van 4 cijfers is 103 = 1000; de grootste 213 = 9261. Nu moet men van deze 12 getallen nagaan of de som der cijfers van de derde macht gelijk is aan het grondtal; alleen voor 173 = 4913 en 183 = 5832 blijkt dit te kloppen, immers 4+9+1+3 = 17 en 5+8+3+2 = 18.

(Naar diverse vraagstukkenverzamelingen, ca. 1900.)

Dat taal en rekenen heel goed kunnen samengaan, weet menigeen, maar een wiskundige, die meer bekend is als dichter, is toch wel heel bijzonder. Zo iemand was Obe Postma (1868-1963), die vooral naam gemaakt heeft met zijn in de Friese taal geschreven poëzie. (Postma was overigens wis- én natuurkundige, want gepromoveerd op een onderwerp uit de natuurkunde.) Dat onderstaande tekst van zijn hand niet in de rubriek "Taal" is ondergebracht, komt doordat Postma deze in zijn hoedanigheid als wiskundige schreef. Het artikel verscheen in het "Wiskundig Tijdschrift", 2de jaargang 1905/06.


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

1. Twee machten van hetzelfde getal, waarvan de exponenten 4 verschillen, eindigen op hetzelfde cijfer. Bewijs dit.

2. Een getal van drie cijfers is deelbaar door 9 en door 11. Welk cijfer staat in het midden?

3. Hoe groot is de som der getallen tussen 100 en 1000, die bij deling door 7 zes en bij deling door 5 twee overlaten?

4. A, B en C maaien tezamen, in een zekere tijd, een veld graan; A zou het alleen hebben kunnen doen in 9 7/9 uur meer, B in de helft van de tijd, die A daartoe nodig heeft, en C in een uur minder dan B. In welke tijd maaiden zij tezamen het veld graan?

5. Hoe laat zullen de uur- en minuutwijzers van een horloge, na twaalf uur, het eerst juist tegenover elkaar staan?

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1890)


TAAL

Je hebt tegenwoordig veel zogeheten taaladviesboeken, maar nog talrijker zijn de internetsites die uitleggen dat het niet "jij wil" maar "jij wilt" moet zijn, dat "ken het zijn dat ik u kan" fout is en "hun verdienen meer als ons" niet deugt. Vroeger, voor de oorlog of even er na, waren er van genoemde soort maar een paar, maar die kregen zelf de nodige kritiek te verduren, o.m. van de bekende taalkundige professor Gerlach Royen. Dit schreef hij in de 5de jaargang van "Taal en leven" over twee ervan: "Goed gezegd zo" door J.C. van Wageningen uit 1941 en "Is dat goed Nederlands?" door Charivarius uit 1940 (meermaals herdrukt, het laatst zelfs nog in 1998).

"In zijn "Goed gezegd zo" bewijst J.C. van Wageningen dat zorgvuldig verzamelen van taalgebeurlijkheden met zeer ontaalkundige opvattingen over taalwerkelijkheid kan samengaan. Al spreekt uit dit vlot leesbaar boek veel liefde voor zuiverheid van taal, de vele averechtse uitspraken maken het boek tot gevaarlijke lectuur voor leken. We gaan dat niet in extenso aantonen, maar laten de auteur ook een bijdrage leveren.

" 't Enige DAT! (en niet: WAT!) wij kunnen raden, is: te zorgen, dat zij er gauw doorheen zijn". Die raad betrof "onze jongemeisjes, met hun kierewiet, knal, eng, reuze, denderend, zalig, sorry -- enz. enz.", waar ze doorheen moeten "zoals een kind door de mazelen". Toch moet m.i. ook Van Wageningen nog door veel heen, voor zijn kijk op het Nederlands van het bijziende af is. Op blz. 173 wordt het geval van het relatieve dat : wat definitief afgemaakt, kort en krachtig: Zo is het, en daarmee uit. De spraakmakende gemeente, d.w.z. de taalgemeenschap, gaat - vooral in Nederland met z'n nabloei van de grammaire raisonnée - talloze malen andere wegen dan de spraakkunst (niet eens tegen beter weten in?) almaar blijft aangeven. Al staat Van Wageningen niet overal afwijzend tegenover het levende taalgebruik, dat met het voorschrift in botsing komt, hij zit toch nog te stevig geboeid aan verouderde regels en oekazen - wat z'n werk uiteraard een goede 'pers' zal verzekeren. Maar " 't enige wat" is niettemin uitstekend Nederlands.

Zo'n gevalletje is ook de vraag als : dan na de comparatief. Voordat Van Wageningen "van de trappen van vergelijking" afstapt, drukt hij de lezer nog iets op het hart in een pedagogisch vraagje: "O ja, dat bij een stellende trap steeds als gebezigd wordt en bij een vergrotende trap dan, weet u toch? En u houdt zich daar toch wel aan? .... Wij vragen het maar, omdat HEEL VEEL MENSEN zich niet aan die regel houden!" (blz. 115). Zo is de 'regel'. Dus! Waar die regel vandaan is gekomen wordt niet gevraagd. Nee, dan "Onze Taal" (X 20), daar wordt de voortreffelijkheid van dan tenminste gemotiveerd: "Een goede reden om ALS na een comparatief niet in plaats van DAN te bezigen heb ik altijd gevonden dat bijv. 'K. staat hoger als prozaïst ALS ALS dichter' (bij vergelijking van twee hoedanigheden) wel heel erg lelijk is".

Is me dat eventjes een idee! Een nieuw ei van Columbus! Ik ga voortaan ook altijd welke schrijven, want ook "die die" is heel erg lelijk, om van het nog lelijkere "die die die" maar te zwijgen. Dat is de man die die betrekking kreeg (welke die). Dit vraagstuk is er een van die die die geleerde niet kan oplossen (die welke die). En nu weet ik ook ineens waarom wat wat op het relatieve dat voor heeft: Is dat nu dat dat dat meisje meende?

Charivarius weet in zijn bazaar "Is dat goed Nederlands?" raar met naamvallen om te springen, en met nog veel meer. Deze pseudonymus is een scherpe waarnemer, maar hij is er blijkbaar nooit toe kunnen komen ook wat aandacht te schenken aan taalwetenschap. Laat me voor de afwisseling eens een spellinggevalletje kiezen, waarbij - als bij zoveel anders - schijn kan bedriegen.

Hij schrijft nl. op blz. 99: "Laatje, sneetje, zootje van la, snee, zo. (De t is ingevoegd als in koetje, tweetje, kadootje)". Dat "ingevoegd" is kostelijk, althans in de onderstelling dat ik het gebeurwoord "invoegen" goed versta, zonder er enig woordenboek bij open te slaan. Die t is er 'dus' later bij gekomen, en zo werd het 'eigenlijke' verkleinsuffix -je tot -tje -- ik wil dit 'ingevoegd' nu niet zó kras interpreteren, dat een vroeger "koeje" later "koetje" werd. Maar als nu eens -je uit ouder -tje is ontstaan? Dat zou toch ook kunnen. Want al is in ons "boompje" de -p- een 'ingevoegde' overgangsklank, daaruit volgt allerminst dat dit ook voor de -t- van de genoemde woorden opgaat. Voor mij is zeker, dat het diminuerend achtervoegsel - tje zich uit het -ken (ouder -kijn) heeft ontwikkeld; en dat hier om deze, en daar om een andere reden de -t- van -tje is verdwenen in medeklinkercomplexen als mandje, katje, korfje, boompje, koninkje. Ik weet dat een volslagen oningewijde hierdoor niet veel wijzer wordt, maar als deze er meer van wil weten, kan hij zich laten inspireren door Schönfeld's "Historische grammatica van het Nederlands", blz. 221 vv. Het historisch verloop van -ken is een hoogst merkwaardig voorbeeld van één vorm die zich in één taal sterk differentieerde. Ik noem slechts -tje, -je, -etje, -pje, -kje, -sje - voor welke varianten ik het beste naar Kruisinga's "A grammar of modern Dutch" par. 386 vv. kan verwijzen. Diens overzicht van de onderscheiden verkleinvormen is nergens overtroffen. *)

Charivarius was echter nog niet uitgepraat. Hij stelde niet alleen vast hoe het moet, hij gaf tevens aan hoe het niet moet: "Deze woorden worden meestal foutief met d geschreven, doordat men denkt aan lade, snede, zode en aan woorden als draadje, kleedje, broodje van draad, kleed, brood".

Van deze motivering - feitelijk is er analogiewerking bedoeld - doet men beter de laatste helft aanstonds te schrappen. Iemand die "la" wil diminueren, kan met geen mogelijkheid aan "draad" denken, wel aan lade. Maar daarmee is de kwestie niet uit. Charivarius zegr dat laadje een verkleinvorm is van la; ook neem ik gaarne aan dat de meeste schrijvenden daar helemaal niet bij nadenken. Maar neem nu eens aan, dat iemand lade in de verkleinvorm wil zetten, en snede en zode; dan schiet heus niet anders over dan laadtje, sneedtje, zoodtje te schrijven. Misschien weet men het, misschien ook niet, maar in de eerste uitgave van hun "Woordenlijst voor de spelling der Nederlandsche taal" (1866) schreven De Vries en Te Winkel nog: laadje, zoodje, roedje, zijdje. Maar zij kwamen daarna tot andere gedachten, die zij zelf natuurlijk als betere gedachten beschouwden, want in de volgende uitgaven van hun orthografische grondwet verklaarden zij, dat deze spelwijze ("laadje" enz.), "die wij vroeger ook onbedacht overnamen, op geenerlei wijze te rechtvaardigen is". Op generlei wijze? Laat me alleen maar vragen: Waarom bleven chocolaadje, oudje, armoedje dan toch in de lijst gehandhaafd? En waarom sluit "met z'n beidjes" hier zo prachtig bij aan? Waarom zijn de superlatieven van blijde en bloode, toch blijdst en bloodst gebleven, ofschoon die ook op -de eindigen, en waarnaast toch ook blij en bloo voorkomen. Ja, in mijn Woordenlijst (7de druk) lees ik zelfs "bloo, blooder, bloodst" zonder "bloode", wat lijnrecht in strijd komt met de reden waarom "zoodje" enz. enz. bij nader overleg werd verworpen (ald. blz. XI). Ook zijn ten spijt van de -e van aarde, stede, weide de daarvan afgeleide adjectieven aards, steeds, weids heel normaal. En evenzo sluiten blijdschap en vreedzaam ongehinderd aan bij blijde en vrede; juist als samenstellingen van het type aardbodem of armoedzaaier nooit bezwaar ondervonden hebben. En zo is er nog meer wat spelkundig op één lijn staat met de uitstekende tweelingspelling; laadje van lade tegenover laatje van la. Dat is nu eens een spellingdoublet dat zin heeft. Waarom dat "ladetje" zou moeten zijn, is niet duidelijk. Vergelijk maar lade : laadje = blijde : blijdst = weide : weids, enz. "

*) Over de diminutieven schreef Royen later zelf uitgebreid o.m. in "Buigingsverschijnselen in het Nederlands".