schrijf!

T & R jrg. 2014 aflev. 3
terug

REKENEN

1/ Een leerling moet een getal deelen door 35. Hij deelt het door 5 en vervolgens het quotient door 7. Als de rest der eerste deeling 2 en die der tweede deeling 3 was, welke rest zou hij dan hebben verkregen, als hij het getal door 35 gedeeld had?

Opl. 7a+3 is het quotiënt van de deling door 5, dus van 35a+15. Daar komt nog 2 bij, dus de rest, bij directe deling door 35, was 17. Proef bij a = 1. 52 : 5 = 10 rest 2, 10 : 7 = 1 rest 3.

2/ Deel ik een getal door 3, het quotient door 4, het komende quotient door 5 en het nu verkregen quotient door 6, dan krijg ik bij elke deeling 1 tot rest; wat zal de rest zijn als ik dat getal in eens door 3x4x5x6 deel?

Opl. Het laatste getal is 6a+1 en is het quotiënt van de deling door 5. Het voorgaande getal (het deeltal) is dus 30a + 6 (gedeeld door 5 rest 1), het getal daar weer voor 120a + 25 (gedeeld door 4 rest 1), en ten slotte 360a + 76 (gedeeld door 3 rest 1). Als we dit door 3x4x5x6 = 360 delen zal de rest dus 76 zijn. Proef met a = 1: 436 : 3 = 145 rest 1; 145 : 4 = 36 rest 1; 36 : 5 = 7 rest 1; 7 : 6 = 1 rest 1.

3/ Bepaal de drie weggelaten cijfers in de opgaande deeling - - - 1567 : 247.

Opl. Als de deling opgaat is het deeltal een 247-voud. Aangezien het laatste cijfer van de deler een 7 is, moet het laatste cijfer van het quotiënt een 1 zijn (alleen 1 x 7 = 7). We hebben dus - - - 1567 = 247 x - - - 1. Nu cijfers links van de 1 proberen tot we een 6 (tweede cijfers van rechts in 1567) vinden, dus 247 x 11, 21, 31 enz. 61 blijkt een 6 te geven, dus nu 161, 261, 361 proberen voor de 5 links van de 6. We vinden 561 en hebben nu al 138567 = 561 x 247. Nu 1561, 2561, 3561 proberen om de volgende 1 (vierde van rechts) te zoeken: bij de 9 hebben we prijs: 2361567 = 247 x 9561. De drie weggelaten cijfers zijn dus 236.

4/ Zoek het kleinst mogelijke getal, dat, gedeeld door 36, of 100, of 169, in ieder dezer gevallen den vierkantswortel van den deeler tot rest zal geven.

Opl. We hebben (x-6)/36, (x-10)/100 en (x-13)/169. Ze moeten alle drie voldoen aan hun som. Als we de breuken gelijknamig maken en optellen krijgen we
(3323x-26130)/76050 waaruit de onbepaalde vergelijking 3323x - 76050y = 26130. Deze op de gebruikelijke manier uitwerkend vinden we y = 3050 en x = 69810. De algemene oplossing is dan
x = 69810 + 76050t
y = 3050 + 3323t.
De kleinste waarde van x is dus 69810, want voor iedere negatieve waarde van t wordt x negatief.

5/ Toon aan, dat de som van een reeks op elkaar volgende oneven getallen, die met 1 begint, een kwadraat is.

Opl. De som is ½n(1 + l) = ½ n{1 + 1 + (n- 1)2} = ½ n(2 + 2n -2) = ½n(2n) = n2.

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1890).


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

1. Mijn vriend kwam vóór één bij mij, bleef 36 minuten en vertrok na één toen voor het eerst de wijzers mijner pendule een dubbel zoo grooten hoek met elkaar vormden, als toen hij kwam. Hoe laat vertrok hij?

2. Toon aan, dat de som van de derde machten van drie willekeurige op elkaar volgende getallen deelbaar is door driemaal het middelste getal.

3. Deelt men elk van twee (geheele) getallen door hun verschil, dan krijgt men dezelfde resten. Bewijs dit.

4. Van drie getallen is de som deelbaar door 9. Het eerste getal is een negenvoud plus 3, het tweede getal geeft bij deeling door 9 tot rest 5. Vind de rest der deeling van het derde getal door 9.

5. Toon aan, dat het verschil der vierkanten van twee oneven getallen door 8 deelbaar is.


TAAL

Namenmaskerade

In de tijd van het Humanisme was alles Latijn en Grieks wat de klok sloeg: niet het nog levende Latijn van de christelijke Middeleeuwen, maar het dode Latijn van de heidense oudheid. Wanneer wij bij Humanisme vooral aan de 15de en 16de eeuw denken, is die globale oriëntatie voor ons doel meer dan genoeg. Niet alleen zagen de humanisten in het Latijn en het Grieks uit de voorchristelijke tijd als taal en letterkunde het non-plus-ultra, het onovertroffene, het onovertrefbare - weldra toonden zij zich ook niet afkerig van de denkbeelden, die in die heidense geschriften verkondigd werden: en zo raakte bij velen niet alleen het verchristelijkte Latijn, maar ook de christelijke waarheid in diskrediet en aan kant.

Ook maakten de humanisten en hun nasleep er een sport van, om hun namen te verlatijnen en te vergrieksen - al was de naamgeschiedenis van Desiderius Erasmus dan ook anders, dan de 'traditionele geschiedenis' die pleegt voor te stellen.

Het onschuldige middel om een naam op klassiek 'peil' te brengen was wel, er een Latijns staartje achteraan te laten bengelen: us of ius. Zo werd Jansen tot Jansenius verklassiekt, Kramer tot Cramerius verdeftigd, Vos tot Vossius gesublimeerd. Wanneer het voor de latijnsigheid nodig was - het behoefde niet eens nodig te zijn - werden ook nog andere veranderingen aangebracht. Zo werd Hajo tot Hajenius, Sluiter tot Sluterus, Van Tiel tot Tilanus, Van Noord tot No(o)rdanus. Wie zich als "de zoon van" wilde aandienen, veranderde de uitgang -is in de tweede naamvalsvorm op -i: Adriani, Conradi, Jacobi, Nicolaï, Wybrandi en zo meer. Ook Michaëlis, Simonis e.a. zijn genitiefvormen. Anderen voelden meer voor een Grieks aanhangsel: Hermanides, Paulides, Mensonides enz.

Maar dat alles was toch het echte nog niet! Dat was er pas, wanneer men zijn hele naam met huid en haar verlatijnde en vergriekste. Wie Smid heette, noemde zich bijv. Faber, en Goudsmid werd tot een 18-karaats Aurifaber. Dit maskeradespel was niet tot ons land beperkt, maar werd in heel West-Europa gespeeld - vanwege de klassieke cultuur, ziet u. En zo wordt het voor ons wel eens moeilijk om vast te stellen of achter Pistorius een Nederlandse of een Duitse Bakker schuil ging; of Sartorius de humanistische dubbelganger is van Snijder of Schuster. Wie Boer heette koos Agricola, maar wie zich als Agricola aandiende, kon ook wel in zijn huis-en-tuin-bestaan op de naam van Bauer reageren.

En wie zou volhouden dat Joris Langveldt er in zijn Grieks-Latijnse gedaante Georgius Macropedius niet op vooruit was gegaan, zou daarmee alleen reeds zijn tekort aan humanistische vorming te kijk stellen. Christianus Ischyrius was toch iets anders dan het prozaïsche Chris Sterk. En wanneer Jacob Reefsen zich met Revius tevreden stelde, dan was dat misschien wel, omdat hij er ook niet meer van kon maken. En of Schwarzert door zijn naam in Melanchthon te vergrieksen, taalkundig binnen de schreef bleef, is wel ernstig betwijfeld. Wanneer Oecolampadius echt maar Heuszgen heette, wist deze vergriekser van zijn naam er in alle geval meer uit te halen, dan er inzat. Intussen moet ik bekennen dat ik van veel Humanisten wel de verlatijnde of vergriekste namen ken, maar niet zeker weet hoe ze er bij een demasqué zouden uitzien. En zo heeft men, in goed vertrouwen de roos te treffen, Desiderius Erasmus in Gerrit Geertsz of een variant daarvan, vernederlandst. Zo kon het fabeltje ontstaan, dat de ver-pseudo-nederlandste naam door zijn drager was verlatijn-en-griekst.

Bij dit humanistisch gedoe zat natuurlijk een heel andere bedoeling voor, dan wanneer in de katholieke doopregisters de voornamen der dopelingen in Latijnse vorm worden opgenomen. Dit laatste is heel normaal, dat eerste was een dwaze bevlieging, waar nu nog menig Nederlander de burgerlijke-standsgevolgen van ondervindt: Hajenius, Tilanus, Adriani, Simonis enz.

En het is nog weer iets anders, zó anders dat het in dit artikeltje helemaal niet thuis hoort, wanneer Johannes in zijn Evangelie (1 : 30, 41 v.) bij Rabbi aantekent, dat die naam didaskalos - leermeester betekent; en evenzo Messias door Christus vertaalt, en Cephas door Petrus. Die joodse namen hadden zo'n bijzondere toepasselijke en toegepaste betekenis, dat Johannes er voor de alleen Grieks kennenden de Griekse vertaling aan toevoegde, die later in de Latijnse overzetting al iets minder, maar in de Nederlandse helemaal niet meer tot z'n recht kwam.

Vooral de zinrijke woordspeling op de naam Petrus bij Mattheus (16 : 18) gaat in het Nederlands geheel verloren: "En ik zeg u dat gij Petrus (= rotsblok) zijt, en op die petra (= rotsblokken) zal ik mijn kerk bouwen, en de hellemacht zal die niet ten onder krijgen".

Toen ik het Griekse "pulai haidou" (portae inferi) door hellemacht vertaalde - ik had eerst helle Poort gezet - dacht ik aan de Hoge Porte, waarmee men ooit de Turkse regering aanduidde. Maar veel Oosterse voorstellingen gaan in Nederlandse woorden teloor ... als men 'letterlijk', dus 'verkeerd' vertaalt.

(Gerlach Royen in "Herstel", 19-8-1937).