schrijf!

T & R jrg. 2009 aflev. IV
terug

REKENEN

Van een getal van drie cijfers wordt een nieuw getal gevormd, door het meest rechtse cijfer vooraan te plaatsen. De andere twee cijfers schuiven naar rechts op, dus abc wordt cab. Bewijs, dat het nieuwgevormde getal geen tweevoud van het oorspronkelijke getal kan zijn.

We behoeven dit slechts voor 9 getallen te bewijzen, nl. voor de getallen die eindigen op 1 t.e.m. 9. Voorbeeld met getal eindigend op 3: het eerste cijfer van het nieuwe getal is dan 3, dus hebben we
3 - - en - - 3. Het oude getal (rechts) × 2 en we krijgen:
3 – 6 en – 6 3, want die 6 was oorspronkelijk het tweede cijfer van het oude getal. Nu weer 6 × 2 wat een 2 oplevert voor het nieuwe getal, zodat we krijgen 3 2 6 en 2 6 3. Voor 3 klopt het dus niet. Nog een voorbeeld met 7:

  7 - -   - - 7
  7 - 4   - 4 7
  7 8 4   8 4 7 

Ook onmogelijk.

Het bewijs kan ook worden geleverd door de onbepaalde vergelijking
2 (100a + 10 b + c) = 100 c + 10a + b op te lossen. We hebben dan
190a + 19b – 98c = 0
19b'= 3c
b'= 3, c = 19
19b = 98.19 – 190a
b = 98 – 10a
De kleinste waarden van a én b (beide ééncijferig) zijn b = 8 en a = 9.
10a + b = 98 dus b = 8 - 10t en a = 9 + t.
Ingevuld in de bovenstaande vergelijking:
190(9 + t) + 19(8 - 10t) – 98c = 0
1710 + 190t + 152 – 190t = 98 c
98c = 1862 c = 19 + 0t
Op de positie van c staat dus een getal van 2 cijfers.

Bewijs, dat, als van de vergelijking:
ax² + bx + c = 0
de wortels gelijk zijn, één der wortels van de vergelijking:
pax² + (p + v )bx + (p + 2v)c = 0
tevens een wortels zal zijn van de eerste vergelijking.

(Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje)

Bew.: Noemen we de gemeenschappelijk wortel x1 , dan is

ax1² + bx1 + c = 0 (deze × - p)
pax1² + (p+v)bx1 + (p+2v)c = 0

- apx1² - bpx1 - cp = 0
apx1² + bpx1 + bvx1 + cp + 2cv = 0
—————————————— (optellen)
bvx1 + 2cv = 0 dus x1 = -2c/b.

Nu is x1 = x2 zodat x1 + x2 = 2x1 = - b/a dus x1 = -b/2a. Derhalve moet -b/2a = -2c/b zijn zodat b² – 4ac = 0 en dat klopt als een bus, want de eerste vergelijking heeft twee gelijke wortels zodat de discriminant 0 moet zijn.

Bewijs, dat wanneer de geboortejaren van twee personen 9 jaar verschillen, de som der cijfers van hun leeftijden gelijk is (nadat ze beiden in het betreffende jaar jarig zijn geweest).

Opl.: M.a.w.: Als twee getallen 9 verschillen (of een veelvoud van 9), is de som der cijfers van elk van die getallen gelijk.
Voorbeeld met 53 en 44, som der cijfers van elk getal = 8. 53 bestaat uit 5 tientallen en 3 eenheden. Wanneer we daar nu 9 van aftrekken, trekken we er eigenlijk één tiental af en tellen er één eenheid bij, dus krijgen we 5 - 1 = 4 tientallen en 3 + 1 = 4 eenheden. Aangezien -1 tegen + 1 wegvalt, blijft de som gelijk, nl. 5-1 + 3+1 = 4 + 4. Algemeen:
10a + b = 10(a -1) + b +1. Of 10a + b – 10a +10 - b -1 = 9.


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

Bewijs, dat de som van alle getallen, die kleiner zijn dan 8n, die deelbaar zijn door 4 maar niet door 8, gelijk is aan 4n². (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje).

A en B hebben even lang gewerkt tegen ongelijk loon. A verzuimt slechts 1 dag en verdient fl. 40; B verzuimt 7 dagen en verdient fl. 36. Had A 7 dagen verzuimd en B 1 dag, dan had B fl. 18 meer verdiend dan A. Hoe lang hebben zij in 't geheel gewerkt (het verzuim meegerekend)? (Versluys, Algebraïsche Vraagstukken, 2de stukje).

Als p en q de wortels zijn van de vergelijking ax² + bx + c = 0 , vraagt men de waarde van (ap –b)(aq – b) te bepalen. (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje).


TAAL

In 1954 of daaromtrent verscheen er een boekje onder de titel "Vijf 5tigers" met werk van Gerrit Kouwenaar, Bert Schierbeek, Remco Campert, Lucebert en Jan G. Elburg (in de volgorde waarin ze ons tebinnenschoten). Op het stofomslag stonden deze vijf auteurs afgebeeld met tijgersnorharen en een apestaart om zo de associatie met tijgers op te wekken.

Als we ons wel herinneren was of waren De Vijftigers een experimentele dichtgroep, van dichters met gedichten, die niet rijmden, die meer een klank vertegenwoordigden, zich onttrokken aan enig dicht- of rijmschema en zich daardoor moeilijk lieten beoordelen. Je was vóór, of tegen. Van deze vijf tigers zijn alleen nog Kouwenaar ("Uren en cigaretten", ja dat waren mooie literaire tijden zo vlak na de oorlog) en Campert ("Het leven is verrukkuluk" blijft een standaardwerk, vooral door de geniale vondst om Kees de Jongen als een verlopen grijsaard op te voeren) in leven, maar inmiddels toch ook al weer de 80 gepasseerd. Waarop de bewondering voor Lucebert berust hebben wij nooit begrepen, Schierbeek herinneren we ons nog vanwege zijn IBM-schrijfmachine met schrijfbolletjes zodat hij zelf de typografie van zijn onbegrijpelijke gedichten kon verzorgen en van Jan G. Elburg kennen wij maar één, overigens geniale zin: "De meters zijn er een kilometer lang".

Eigenlijk dachten we dat Simon Vinkenoog, die onlangs overleden is, er ook bijstond, of er één van was, maar dat bleek bij nader inzien (alweer een literaire titel) niet het geval. Maar volgens de wikipedia, die we trouwens alleen maar raadplegen uit gemakzucht, omdattie zo betrouwbaar is als een valse nicht (zoals geëmancipeerde heterofielen tegenwoordig schertsend plegen te zeggen), en zich verhoudt tot een echte encyclopedie als kwakzalverij tot de reguliere geneeskunde, issieut.

Niet dat we ooit iets van hem gelezen hebben, maar in de visuele necrologieën die over ons zijn uitgestort zagen we een bij leven voortreffelijk en glashelder formulerende Vinkenoog. We herinneren ons nog, dattie 50 werd, en "In de Rooie Haan" geïnterviewd werd door Wim Bosboom (wel onder, maar niet meer bij ons), die nog steeds een eeuwige kwajongen in hem zei te vermoeden. Weer 19 jaar later werd hij bij Hanneke Groentenman in "De Plantage" "soixante-neuf" en bijna 12 jaar later (want Simon werd op wat zijn 81ste verjaardag had moeten worden begraven) moet iedereen het dan doen met Simons literaire nalatenschap, wat die dan ook waard moge zijn. Het schijnt maar een nalatenschapje te zijn want Simon was meer full-time levensgenieter en drugsgebruiker, dan literator.

Simon is een sterfelijke naam intussen. Simon Vestdijk, Simon van het Reve, Simon Carmiggelt, allemaal dood.