schrijf!

T & R jrg. 2009 aflev. II
terug

REKENEN

Indien a en b geheele, onderling ondeelbare getallen voorstellen, kunnen a + b en
a - ab + b geen anderen gemeenen deeler hebben dan 3. Bewijs dat.
(Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje).

Bewijs. Zo er al een gemeenschappelijke deler na onderlinge vereenvoudiging van de getallen a en b is (zo wordt 6 + 3 2 + 1), dan is dat 3. Een getal is een drievoud als de som der cijfers een drievoud is. 4 + 3 bijv., is geen drievoud en derhalve hebben dan a + b en a - ab + b geen gemeenschappelijke deler (immers 7 en 13). Zij dus a + b een drievoud dan is
a - ab + b eveneens een drievoud, aangezien deze vorm te schrijven is als
(a + 2ab + b) 3ab = (a + b) - 3ab, want een drievoud in het kwadraat is ook een drievoud, en een drievoud verminderd met een drievoud eveneens. Een andere gemeenschappelijke deler komt bij vereenvoudiging te vervallen. Ten slotte geldt: als a + b een drievoud is, is a + b ook een drievoud.

Als de vergelijkingen: x + ax + b = 0 en x + bx + a = 0 n wortel gemeen hebben, welke betrekking moet er dan bestaan tusschen a en b?
(Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje).

Opl.: Zij x1 de gemeenschappelijke wortel, dan is
x12 + ax1 + b = 0
x12 + bx1 + a = 0
-
ax1 - bx1 + b a = 0
x1(a b) = (a b) dus x1 = 1. Ingevuld in
x + ax + b = 0 of x + bx + a = 0 komt er
1 + a + b = 0 of 1 + b + a = 0 zodat a = - (b + 1).
Dus als bijv. a = 3, dan is b 4. Dan hebben we
x + 3 x 4 = 0 met de wortels 1 en -4 en x - 4x + 3 = 0 met de wortels 1 en 3.

Bewijs dat -ab -bc -ca een volkomen vierkant is, als a + b + c = 0. (Versluys, Algebrasche vraagstukken, 2de stukje).

Bew. a = -b c dus (-b c).b - bc - c(-b c) =
b4 + 2bc + 3bc + 2bc + c4 =
b4 + 2bc + bc + 2bc + c4 + bc + bc =
b(b + 2bc + c) + c(b + 2bc + c) + bc =
b(b + c) + c(b + c) + bc =
(b + c)(b + c) + bc.
Alles wat we hier voor getallen invullen, leidt tot een zuiver kwadraat. Schrijven wij dit als
(b + c)(b + c + 2bc 2bc) + bc of
(b + c){(b + c) 2bc} + (bc) en noemen wij gemakshalve (b + c) p en bc q, dan is
p(p - 2q) + q = p - 2pq + q = (p q), m.a.w. de ontbinding was (b + bc + c).


Oefenopgaven

Opgaven (zonder de oplossingen) die in de volgende T & R gepubliceerd zullen worden, zodat u er alvast uw krachten op kunt beproeven:

A en B gaan elkaar tegelijk tegemoet uit M en N. Na de ontmoeting die na 4 uur plaats heeft, heeft B nog 51/3 uur noodig om M te bereiken. Hoe lang moet A na de ontmoeting nog loopen om te N te komen? (Toelatingsexamen Veeartsenijschool Utrecht, 1905).

Bewijs, dat ieder getal, dat een tweedemacht en waarvan het cijfer der eenheden 6 is, een oneven cijfer op de plaats der tientallen heeft. (Examen Aspirant-Landmeter, 1905).

Aan welke voorwaarde moeten a, b en c voldoen, opdat a2x4 + ax3 + bx2 + cx + c2 een volkomen tweedemacht zij? (Versluys, Algebrasche Vraagstukken, 2de stukje).


TAAL

Er wordt wel ereis beweerd, dat taal het exclusieve recht is van dieren die kunnen spreken, en de enige diersoort, die spreken kan, is de mens, afgezien van een enkel dier als de papegaai, waarvan het "spreken" echter niets anders is dan het nabootsen van de menselijke stem, zonder dat de betekenis van de uitgestoten klanken tot het dier zelf doordringt. Taal als middel van conversatie is het niet. Er bestaat evenwel een rijke literatuur waarin dieren praten kunnen alsof het mensen waren. Zo zijn er mensachtigen als eenden (Donald Duck), beren (Ollie B. Bommel), poezen (Tom Poes), ja zelfs insecten (Tokkie Tor). Aan de laatste categorie wijdde Godfried Bomans zelfs een heel boek: "Erik, of het Klein Insectenboek" (1941), een met een heel fijn penseeltje geschilderd meesterwerkje, hoewel kwade tongen lispelen dat het geplagieerd was van "De kleine Johannes" van Frederik van Eeden, enfin, het is ook nooit goed. "Erik" is trouwens te goed om het aan scholieren op te dringen als verplichte leesstof, dat is paarlen voor de zwijntjes werpen. In "Gulliver's Travels" zijn dieren soms verheven boven mensen en worden mensen beschouwd als een minderwaardige diersoort. In fictie is de vermenselijking van de vorm overigens niet beperkt tot het dier. Zo verhaalt J.M.A. Biesheuvel van een aardbei die aan plukkershanden tracht te ontsnappen ("Het lieveheersbeest" in "Slechte mensen", 1973). De jonge Godfried Bomans laat als jeugdig gymnasiast de augurken van het zuurkraampje eerbiedig luisteren naar wat de centen en kwartjes van het centenbakje over de wereld, waarvan ze immers zo veel gezien hebben, te vertellen hebben (in: Tony van Verre, "Bomans was de naam", 1978). Dat is dezelfde Bomans, die in het meesterwerkje "De Club der Zwijgers" (in: "Nieuwe Buitenlingen", 1955) schrijft: "Hierdoor had zich onder de geleerden de mening gevormd, dat dieren niet spreken konden. Dit nu was een dwaling. Beesten konden zeer goed praten en de edeler diersoorten, zoals paarden, honden en het meer ontwikkeld pluimvee beschikten zelfs over een hoge conversatiekunst. Doch zij waren wel wijzer. Zij begrepen instinctief, dat zodra zij deze menselijke gewoonte overnamen, het uit was met hun zorgeloosheid. Was eenmaal deze bijzonderheid uitgelekt, dan konden zij zich bezwaarlijk meer onttrekken aan de algemene leerplicht, toenemende bezitsvorming en de hieruit voortvloeiende inmenging van de fiscus." En verderop: "Verder was komen vast te staan, dat mensen, die weinig spraken, ook langer leefden. De dood was het resultaat van het gebruik van krachten. Vandaar dat dieren, die zich traag bewogen, zoals slangen, krokodillen, luiaards en olifanten, een ongelofelijke ouderdom bereikten. De inwendige verbranding was hier geringer. Bomen werden nog ouder en het oudst werden de verschillende gesteenten, die zo verstandig waren op geen wijze van hun opinie blijk te geven." Dezelfde Bomans ook, wiens plotseling overlijden een siddering van verbijstering onder de locale bevolking van Nederland teweegbracht. "Wij hoorden het van onze oude chef, die tussen de middag altijd even naar huis ging en het nieuws op de radio vernomen had. Binnenkomend op zijn karakteristieke wijze, zijn holle kies uitzuigend en de handen wrijvend, niet van genoegen, maar tegen een fictieve kou, ook al zouden de mussen (toen nog talloos aanwezig) van de hitte van het dak vallen, meldde hij laconiek: Godfried Bomans is dood! alsof het om een onbeduidend nieuwsfeit ging, dat net zo goed onvermeld had kunnen blijven. Bomans dood! Dat was me wat! Alsof een gewaardeerd huisvriend de pijp uit was gegaan! Dat kon helemaal niet! Maar toch was het zo," vertrouwde ons een tijdgenoot toe.

Dan is er nog taal zonder woorden die door iedereen, zonder uitzondering, door mens & dier, wordt gesproken en beleefd, niet de tussenvorm gebarentaal, hoewel ook dat een taal zonder literatuur is, maar de lichaamstaal, of, zoals velen die niet hechten aan de teloorgang van het Nederlands, niet beseffend welk verfijnd communicatieinstrument zij hiermee uit handen geven, het noemen: "body language". Stemming, karakter, alles is er uit af te lezen. Of het nu een valse hond betreft, of een schuw vogeltje, al deze eigenschappen zijn onverkort afleesbaar op de mens, zonder dat daarbij een mondelinge toelichting nodig is.

En vergeten wij niet de universele taal der muziek. Die begrijpt ook iedereen, in de zin dat emoties worden opgeroepen bij het beluisteren van zoveel moois, volgens sommigen zelfs de op n na prettigste emotie. Maar eigenlijk begrijpt men dan niet dat muziek zelf taal is. Nemen wij de jazzband. Het is een groepsgesprek. De individuele stemmen worden vertolkt door de soloinstrumenten. Daar neemt de klarinet het woord; de anderen zwijgen nog. Vervolgens de schuiftrombone. Dan geeft de trompet zijn mening. En nu weer allen tegelijk, in korte stotende zinnen, direct reagerend op iedere ruimte die de anderen nog opengelaten hebben, een hels tapijt van kakofonie uitrollend. En het publiek is de ondersteunende rhythm-sectie, het ritme van de spreekkoren, af en toe ook een bescheiden banjosolo ten beste gevend, een loopje hier en daar van de string-bass. Of toch: een kittige drumsolo, nu, die heeft er zin in hoor! Het is het vaste ritme dat de muziek binnen de voegen houdt en nog niet dreigt. Maar er is ook muziek die zelf ritme is, sterk gekruid opstijgend uit de diepste oerwouden van Aaf-Rika. Het is de frequentie van oerdriften die niets anders is dan het ritme van de coitus. Zoals de coitus zelf de confrontatie tussen roofdier en prooi is. Zoals oorlogen en veldslagen de ultieme geslachtsdaad zijn.

Maar natuurlijk is niet alles fictie, wat de klok slaat. Menig mens heet gewoon naar een dier. Zo sprak de hoofdonderwijzer bij de rapportuitreiking volgens Chr. van Abkoude in "De voetbalclub" (1921) de volgende, ongetwijfeld historische woorden: "De jongen, die deze 1 voor rekenen heeft gekregen, is geen domoor, geen luiaard. Hij verspeelt zijn tijd niet en doet zijn plicht, dat weet ik zeker. Hij heeft gedacht: O, die sommen ken ik toch wel. En dat is zijn ongeluk geweest. Ziedaar, Jan Konijn, dat is hetgeen ik van jouw rapport te zeggen had."