schrijf!

T & R jrg. 2009 aflev. I
terug

REKENEN

Van twee getallen bestaat elk uit het verschil (of de som) van twee tweede machten. Bewijs, dat het product dier twee getallen weer uit het verschil (of de som) van twee tweede machten bestaat. (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje)

Opl.: Bewijzen wij dit voor de som (a + b)(c + d) = p + q.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd =
(ac) + (ad) + (bc) + (bd) =
(ac + bd) + (bc ad) = de gevraagde som =
ac + 2abcd + bd + bc - 2abcd + ad =
ac + ad + bc + bd.
Voorbeeld. Neem a = 2, b = 4, c = 5, d = 6, dan is
(2 + 4)(5 + 6) = (4 + 16)(25 + 36) =
100 + 144 + 400 + 576 = 10 + 12 + 20 + 24 =
(10 + 24) + (20 12) = 34 + 8 = 1156 + 64 = 1220.
Dus 10 + 12 + 20 + 24 = 34 + 8 (de som van twee grondtallen in het kwadraat + het verschil van de twee andere in het kwadraat), maar ook 10 + 12 + 20 + 24 = 32 + 14. Immers als
ac = 10, ad = 12, bc = 20 en bd = 24 is
(ad + bc) + (bd ac) eveneens ad + bc + bd + ac.
Daarentegen is 10 + 12 + 20 + 24 ≠ 30 + 12 daar
(bc + ac) + (bd ad) = bc + 2abc + ac + bd - 2abd + ad en 2abc niet wegvalt tegen 2abd. Er moeten dus tussen haakjes 4 verschillende letterfactoren staan. En zijn er maar twee mogelijkheden.

Het bewijs voor het verschil gaat op dezelfde wijze:
(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd =
(ac) - (ad) - (bc) + (bd) =
(ac + bd) - (ad + bc) = het gevraagde verschil =
ac + 2abcd + bd - ad -2abcd - bc =
ac + bd - ad - bc.
Voorbeeld met ook weer a = 2, b = 4, c = 5, d = 6, dan is
10 + 24 - 12 - 20 = 132 = (10 + 24) - (12 + 20) = 34 - 32 =
1156 1024 = 132.

Zoek 3 positieve geheele getallen tusschen 1000 en 2500, zoodat 1/3 van het eerste, 1/5 van het tweede en 1/7 van het derde eene rekenkundige reeks van geheele getallen vormen, welker verschil 7 is. (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje)

Opl.: We hebben dus
1/3a + 7 = 1/5 b
1/3a + 14 = 1/7 c.
Vervangen we de eerste vergelijking door
5a + 105 = 3b ( 15).
3b' = 2a met de kleinste positieve gehele waarden b' = 2, a = 3 zodat
b = 40.
Algemene oplossing:
5a 3b = -105 dus
a = 3 + 3t
b = 40 + 5t
Schrijven we de tweede vergelijking als
7a + 294 = 3c ( 21) dan is
7(3 + 3t) + 294 = 3c
21 + 21t + 294 = 3c
3c = 315 + 21t zodat
c = 105 + 7t
Dus:
a = 3 + 3t
b = 40 + 5t
c = 105 + 7t

Het kleinste getal boven 1000 dat we kunnen vormen is 1002, nl.
3 + 3 333 (met t = 333). Dan vinden we voor de andere getallen
b = 40 + 5 333 = 1705 en
c = 105 + 7 333 = 2436.

De gezochte getallen waren dus 1002, 1705 en 2436.

Controle:
1002 : 3 = 334
1705 : 5 = 341
2436 : 7 = 348
Onderling verschil inderdaad 7.


TAAL

Nieuwe woorden

We vallen soms van de ene verbazing in de andere. Wat ze nu weer bedacht hebben!

Sterkhouders
Een woord dat we gewoon op de sportpagina van een Nederlandse krant, De Telegraaf lazen. Je zou zeggen, van Vlaamse komaf, in onze editie van Van Dale (9de druk 1970, al die nieuwigheid daarna is maar flauwekul) komt het in elk geval niet voor. Mogelijkerwijs via het Engelse stronghold (bastion, sterkte) in het Vlaamse dialect beland. Wellicht het beste te vertalen als steunpilaar. Dus op sportgebied bijvoorbeeld een van de beste krachten van een voetbalteam.

Er in zitten / staan
Ook zoiets. Het zijn vooral politici en dat soort lui die zich van deze term bedienen. Betekent ergens al dan niet mee te maken hebben. "Ik zit er weliswaar op een andere manier in, maar " wil zoveel zeggen als: ik ben er niet rechtstreeks bij betrokken, maar kan er toch begrip voor opbrengen. Of: ik zie het anders, maar ik kan me voorstellen dat enzovoorts. Ook als er in stn: "Theo staat er heel relaxed in, maar duidelijk is wel dat we zijn lijn volgen," aldus de "algemeen directeur" van voetbalclub Vitesse in diplomatieke taal over de opstelling van de nieuwe trainer in een nog niet uitgevochten conflict met een assistent-trainer ("De Telegraaf", 5 jan. 2009).

Boven de markt hangen
Waar dit nu weer vandaan komt Het betekent zoiets als: een kwestie die nog niet afgerond is, waar nog geen uitsluitsel over is verkregen. Het zijn wederom de politici die zich gaarne aldus uitdrukken. Dan meestentijds wanneer erop wordt aangedrongen iets af te handelen, anders "blijft deze vraag maar boven de markt hangen."

Alcohol en verkeersslachtoffers
Teletekst kun je beschouwen als een gebrekkige voorloper van internet. Aan de Hilversumse teletekst is af te zien dat de samenstellers in dienst van de overheid zijn en zich dus van geen enkele verantwoordelijkheid bewust zijn, gezien de nonchalance waarmee ze hun stiel uitoefenen. Hoe vaak immers verwijzen inhoudsoverzichten niet naar verkeerde paginanummers? Heel dikwijls namelijk. En dan de teksten. Recent lazen wij op pagina 101 (overzicht van het belangrijkste nieuws): "Minder verkeersdoden door alcohol" en trokken de conclusie dat alcohol een positieve bijdrage leverde om het aantal verkeersslachtoffers omlaag te brengen. Maar het ging om verlaging van het aantal gevallen waarbij alcohol in het spel was.

Televisie
Dezer dagen is het bijna 100 jaar geleden dat de eerste geregelde televisieuitzendingen plaatsvonden. Het was de Duitse televisie die in 1935 de primeur had met uitzendingen in Berlijn, een jaar later (1936) gevolgd door de Franse televisie. De BBC, eerlijk is eerlijk, was ng eerder, omstreeks 1930, maar dat was alleen met geluid, er was nog geen beeld bij, en dat telt dus eigenlijk niet.

In Nederland vonden de eerste televisieuitzendingen plaats in 1950 door de firma Philips onder leiding van de bekende televisiepionier Eric de Vries, een jaar later gevolgd door de eerste officile Nederlandse televisieuitzending door de omroepen. Bij ons thuis hadden we in augustus 1958 televisie en dat was dus vrij vroeg, vergeleken bij degenen die pas later over zo'n kolossaal, peperduur zwartwittoestel beschikten. Je had twee formaten beeldbuis, 43 cm en 53 cm, de laatste als "grootbeeld" betiteld. Er was maar n net, zondag was er geen uitzending, dinsdagavond was filmavond met een oude film van minstens 20 jaar oud, woensdag had je het weekjournaal, donderdag was de toneelavond, dan was er dus een toneelstuk of liever televisiespel (dus niet vanuit een schouwburg maar wel rechtstreeks) en zaterdag werden alle remmen losgegooid, dat was de avond van het vertier. De AVRO had de Weekendshow met Mies Bouwman en Johnnie Kraaijkamp, de KRO had ook zoiets met Robert Sobels, Joekie van der Valk, Philippine Aeckerlin en Rita Marchal, de NCRV had Henk Elsink, en de VARA de quiz van Theo Eerdmans. De VPRO was te klein voor de zaterdagavond en de TROS had je Gode zij geloofd - nog niet. Dit alles volgens de stand van 1958 wel te verstaan.

Nu hadden we wel een toestel maar je had toch het idee dat je al die jaren iets gemist had. Je viel bijvoorbeeld midden in een of andere serie die al een tijdje aan de gang was, zoals Claudia en David met Wil van Selst en Kitty Janssen, of een quiz die al een tijdje liep. De KRO had een programma, gepresenteerd door Jan Blaaser, een soort spelprogramma als we ons wel herinneren, en dan mocht een kandidaat een bijzondere wens doen, die Jan Blaaser dan in vervulling bracht. Ons staat nog bij, dat iemand als wens had dat hij wel eens een programma van de Franse televisie wilde zien. En dat in een tijd met n televisiekanaal (waar je trouwens meer aan had dan die 30 kanalen van tegenwoordig)! Dat was dus technisch nagenoeg onmogelijk. Tenzij je vlak bij de grens woonde, dan kon je de Duitse televisie ontvangen. De Belgische televisie was uitgesloten, want die hadden een ander beeldlijnenstelsel, zodat het beeld, als het al te ontvangen was, vervormd overkwam. En die meneer wilde in Hilversum eventjes de Franse televisie zien!

Maar inderdaad, na enkele ogenblikken, verscheen een uitzending die werd aangekondigd als van de Franse televisie, RTF afkomstig zijnde. Een rap Frans pratende heer (die overigens sterk op Jan Blaaser leek) verscheen in beeld, en deze scheen zelfs ook al te weten, dat een meneer in Hilversum speciaal had gevraagd om hem op het scherm te mogen zien. Het was bijzonder, ja zelfs zr bijzonder. Jan Blaaser moet zich achter de coulissen wel de tranen uit de ogen geveegd hebben van het lachen. Of van de schmink natuurlijk.