schrijf!

T & R jrg. 2008 aflev. I
terug

REKENEN

A vertrekt op het zelfde moment uit P naar Q, als B uit Q naar P vertrekt. De snelheid van A is 2 km/h groter dan die van B. Een uur later vertrekt C, wiens snelheid 3 km/h groter is dan die van A, uit Q naar P, en ontmoet A 6 minuten eerder dan B A ontmoet. Op dat moment is C B precies 1 km vooruit. Gevraagd wordt de afstand PQ.

Opl.: Noemen wij het tijdstip van ontmoeting tussen A en B t (= tijd in uren na vertrek) en de snelheid van B v km/h, dan is de snelheid van A v+2 en dus
t(v+2)+vt = 2t + 2vt = PQ.
Als A C ontmoet geldt
(v+2)(t – 0,1) + (v+5)(t – 1,1) = 2vt – 1,2v + 7t – 5,7 = PQ, dus
2vt – 1,2v + 7t – 5,7 = 2t + 2vt of 5t – 1,2v = 5,7.
Als A C ontmoet bevindt B zich op 1 km afstand, dus:
(v+5)(t - 1,1) – v(t - 0,1) = 1 of 5t – v = 6,5. We hebben dan
5t – 1,2v = 5,7 en
5t – v = 6,5 zodat
0,2v = 0,8 dus v = 4 (de snelheid van B) en t = 10,5 : 5 = 2,1, dus 2 uur en 6 minuten. Ingevuld in 2t+2vt levert de afstand
2 Χ 2,1(1 + 4) = 4,2 Χ 5 = 21, zodat PQ 21 km was.

Het getal 100 in 3 deelen te verdeelen, zoodat de som van 17-maal het 1ste, 11-maal het 2de en 3-maal het 3de deel 880 zij. – Hoeveel antwoorden in geheele positieve getallen zijn hier mogelijk? (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje)

Opl. We hebben dus

17a + 11b + 3c = 880
a + b + c = 100

17a + 11b + 3c = 880
3a + 3b + 3c = 300

14a + 8b = 580 of 7a + 4b = 290

4b = 290 – 7a. Dit 4-voud vervangen we door het kleinst mogelijke viervoud door dit door 4 te delen en de resten op te schrijven (onbepaalde vergelijking):

4p = 2 – 3a, of 3a = 2 – 4 p waaruit a = 2 en p = -1, zodat
4b = 290 – 14 = 278 dus b = 69 en c = 29.
Inderdaad is 17 x 2 + 11 x 69 + 3 x 29 = 34 + 759 + 87 = 880.

De formule voor de zogeheten "algemene" oplossing (de hierboven gevonden waarden vormen de "bijzondere" oplossing) luidt:

Als ax + by = c, dan is
x = x' + bt en y = y' – at, en
als ax – by = c, dan is
x = x' + bt en y = y' + at, waarin t een geheel getal is (de afleiding laten we hier buiten beschouwing). We hebben dan

7a + 4b = 290; a = 2 + 4t; b = 69 – 7t (t geheel).
Ingevuld in a + b + c = 100 komt er
2 + 4t + 69 – 7t + c = 100; c = 29 + 3t, zodat we hebben:

a = 2 + 4t
b = 69 – 7t
c = 29 + 3t

Bij t = -1 wordt a negatief; bij t = 10 wordt b negatief. Voor t = 0 t.e.m. 9 voldoen de oplossingen, bijv. t =1 met 6 + 62 + 32 = 100, vermenigvuldigd met resp. 17, 11 en 3 komt er 102, 682 en 96; samen eveneens 880. Er zijn dus 10 oplossingen in gehele positieve getallen mogelijk.

Voor de curiositeit geven we hieronder de methode van Euler (afsplitsing enkele coλfficient):

7a + 4b = 290

      290 - 7a              a-2           a-2   
  b = ———————— = 73 - 2a + ————— ( Stel  ————— = u )
         4                   4             4

a = 4u + 2 = 3u + u + 2 (Stel u + 2 = v)

dus a = 4 (v – 2) + 2 = 4v – 6.

         290 - 7(4v - 6)      290 - 28v + 42  
   b =   ———————————————  =   ——————————————  = 83 – 7v.
                4                   4

Stel v = 0, dan is 7 Χ – 6 + 4 Χ 83 = - 42 + 332 = 290.
Stel v = 5, dan is 7 Χ 14 + 4 Χ 48 = 98 + 192 = 290.


TAAL

Nederland was vroeger het land van de beroemde goochelaars. De Jaren Veertig en Vijftig waren de hoogtijdagen van onze goochelende landgenoten en het jeugdblad "Arend" wijdde er zelfs een heuse rubriek aan met biografieλn van Nederlandse goochelaars en een cursus goochelen. Hieronder de tekst van ιιn van die biografieλn gevat in taal die er toe doet.

Om een klein tafeltje in de Buitensociλteit te Zwolle stond een groepje mannen gespannen te kijken naar de heer die met een kaartspel de meest ongelooflijke trucs wist te doen. Het was de bekende Apeldoornse goochelaar Truxo die hier tijdens het Congres 1957 der Magiλrs - een samenkomst van goochelaars - aan zijn collega's liet zien wat hij op het gebied van kaartkunstjes presteerde. Hoewel hij dus dubbel moest uitkijken geen fouten te maken, scheen hij er met zijn gedachten niet helemaal bij te zijn. Zijn gezicht stond wat wrevelig. Hij was van plan geweest in Zwolle een grote stunt uit te halen. Er zouden boven de stadsgracht kabels gespannen worden waarover een wagentje kon rijden. En vanuit dit wagentje zou Truxo zwaar geboeid in het water worden gegooid opdat hij dan aan de duizenden toeschouwers zou kunnen tonen hoe vlug hij zich van zijn kluisters wist te bevrijden en weer boven komen. De bodem van de gracht was echter te verraderlijk om deze demonstratie hier aan te durven. Verbeeld je dat hij achter een oude, in het water geworpen fiets zou blijven haken!

Het ging dus niet door. En niettegenstaande hij hieraan geen enkele schuld had, was hij toch ontevreden zoals alle goochelaars het niet uit kunnen staan wanneer iets mislukt, ook al is dit dan buiten hun toedoen. Vandaar dat Truxo nu wat verstrooiing zocht in tafelmagie, totdat ...

"Is mister Urk from Eppeldoin hier?" Een paar heren banen zich een weg door de omstanders. "Ja, dat ben ik," zegt goochelaar Truxo. Het blijken mannen te zijn van een Amerikaanse filmjournaalmaatschappij die speciaal naar Zwolle zijn getogen om de uitzonderlijke prestatie van deze Nederlandse goochelaar als boeienkoning op de film vast te leggen. "Het spijt me, maar het gaat niet door," zegt Truxo, alias de heer Jelle Urk, verbeten. Daar willen de Amerikanen niet van horen en na enig overleg wordt besloten de demonstratie in het zwembad te geven. "Wees toch voorzichtig, joh," zegt de heer Vermeyden, de president van de Nederlandse Magische Unie, "zou je het wel doen?" Als Truxo hem verzekerd heeft dat er niets kan gebeuren, trekt het gezelschap in een paar auto's op weg.

Op de rand van het bad wordt Truxo geboeid. Een hangslot wordt door de eindschakels van de ketting gestoken en dan is alles voor de demonstratie gereed. "Zal ik het sleuteltje in Uw zak steken?" zegt een filmoperateur. "Je kunt niet weten. En op de film zie je het toch niet." Truxo wijst het aanbod beslist af en duikt meteen in bet diepe. Doodstil is het op de kanten. Hoe lang is hij nu al onder water? Het lijkt haast wel vijf minuten. Dan . . . Het wateroppervlak splijt zich en onder het losbarstend gejuich komt Truxo als vrij man weer tevoorschijn, met in elke hand een bos kleurige bloemen en een hoge hoed op, terwijl iedereen hem toch blootshoofds in het water heeft zien verdwijnen.

In optocht wordt hij naar een der luxe auto's gevoerd en in de . . . kofferruimte gestopt. Triomfantelijk wordt de "gevangene" naar het marktplein begeleid. Wel duizend kinderen omstuwen de auto. Op de Zwolse markt gaat het slot van de koffer, de deksel klapt open en ... Hoe kan het - hoe bestaat 't - niet te geloven - maar dat is gewoonweg griezelig - Truxo is verdwenen!!! Helemaal weg! Alleen zijn hoge hoed en de bloemen liggen nog achterin de auto.

Zo goochelt Truxo. Zo kan Truxo de mensen beetnemen. Maar dan ook pas na langdurig trainen, volhouden, geduld hebben en grote liefde voor zijn hobby. Het valt niet meer te zeggen hoe lang Truxo zijn bekende boeientruc "op het droge" heeft geoefend. Pas toen hij zich ettelijke keren binnen een bepaalde tijd kon bevrijden, waagde hij zich in het water. Dit is ook het geval met zijn zogenaamde boemerang-truc, Truxo kan een speelkaart van zich afgooien en wel zo dat hij met een wijde boog weer in zijn hand terugkomt. Of hij knipt hem dan in tweeλn. Maar met hoeveel honderden kaarten de vloer van de kamer bezaaid lag toen pas voor de eerste maal een kaart terug kwam weten alleen zijn kinderen Jelle (11 jaar) en Mary (15 jaar).

Hoe mijnheer Truxo begonnen is? Als de 10-jarige Jelle Urk met papier, touwtjes en muntstukken, totdat hij op de Arnhemse markt eens voor vijftien cent een goochelboekje kocht. Toen ging het echt worden. Je petje af voor iemand met zoveel doorzettingsvermogen. Als jullie hem eens willen schrijven, dan is hier zijn adres: Molleruslaan 33, Apeldoorn.

(Naschrift T & R: Truxo is op 25 november 1995 op 80-jarige leeftijd overleden.)

Volgend keer: de voorbeeldige brief.