schrijf!

T & R jrg. 2007 aflev. IV
terug

REKENEN

Men vraagt drie op elkander volgende getallen te vinden, die respectievelijk door 3, 5 en 7 deelbaar zijn. (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje).

Een vraagstuk dat doet denken aan de opgave uit T&R 2003/I, maar toen werd de opgave beperkt tot getallen tussen 300 en 400. Ongetwijfeld is het aantal oplossingen hier oneindig en daarom beperken wij ons tot de kleinste drie positieve getallen, die aan de opgave voldoen. Een getal is door 5 deelbaar, als het eindigt op 0 of 5. Dan moet het getal ervoor door 3 deelbaar zijn en het getal erna door 7. Eindigt het middelste getal op 0, dan bestaat er geen dergelijke reeks beneden 100, immers alleen 21 (20+1) en 91 (90 + 1) zijn deelbaar door 7 maar 19 (20-1) en 89 (90-1) niet door 3; eindigt het middelste getal op 5, dan blijkt alleen 55 te voldoen, zodat de reeks 54, 55 en 56 is.

De theorie komt verder overeen met het vraagstuk over de resten in T&R 2006/III. De vraag luidt dan: wat is het kleinste 7-voud, dat gedeeld door 5 een rest van 1 en gedeeld door 3 een rest van 2 heeft? Het getal is dan voor te stellen door 7a, 5b+1 en 3c+2. Uit 3c+2=5b+1 of 3c=5b-1 volgt c=3 en b=2 en hebben we dus 3c+2=11 en 5b+1=11. Deze twee vervangen we door 15d+11 (de formule voor het kleinste getal dat zowel gedeeld door 5 resp. 3 1 resp. 2 als rest overlaat, nl. 3d rest 1 en 5d rest 2). 15d+11=7a, en volgens de theorie van de onbepaalde vergelijkingen is 7e=d+4 waaruit e=1 en d=3, dus 15 x 3 +11=56=7a; het getal was dus 56, of - vertaald naar onze opgave - de getallen waren 56, 55, en 54 in omgekeerde volgorde.

Welke twee op elkander volgende termen der reeks: 3, 7, 11, 15, 19 enz. zijn resp. deelbaar door 5 en door 7, en na hoeveel termen zal men weer twee termen vinden, die evenzoo voldoen? (Wisselink, Vraagstukken ter oefening in de algebra, 3de stukje).

De oplossing verloopt op dezelfde wijze als hiervoor. Noemen wij de termen 5a en 7b, dan is 5a+4=7b, dus volgens de formule van de rekenkundige reeks (niks rij) tn = l = a+(n-1)v is 5a=3+(n-1)4 of 5a=4n-1 en 7b=4n+3.
4n=5a+1 en 4n=7b-3.
5a+1=7b-3. 5a=7b-4. a=2 b=2.
5a+1=11 en 7b-3=11. In één formule: 35d+11=4n.
4n=35d+11. 4p=3d+3. d=3 p=3. 35.3+11=116=4n. n=29.
Dus de 29ste term is een 5-voud en de 30ste een 7-voud.
t29 = 3+28 x 4=115 (5x23), t30 = 3+29 x 4=119 (7 x 17).

Nu is het niet gezegd, dat de 29ste (235) en de 30ste term (239) van de aansluitende reeks, die begint met 123 ook resp. een 5-voud en een 7-voud zijn, want 235 is weliswaar een 5-voud maar 239 geen 7-voud. Dat is ook logisch, want als de reeks bijv. bij 111 was begonnen, dus 111, 115, 119, dan waren van de volgende termen 123, 127, 131 de laatste twee, 127 en 131, ook niet automatisch een 5-voud en een 7-voud. Het blijken de 34ste en de 35ste term te zijn:
5a=123+(n-1)4 of 5a=4n+119 en 7b=4n+123.
4n=5a-119 en 4n=7b-123.
5a-119=7b-123. 5a=7b-4. a=2 b=2.
5a-119= -109 en 7b-123= -109. In één formule: 35d - 109=4n.
4n=35d -109. 4p=3d -1. d=7 p=5 (niet d=3 p=2 omdat n dan negatief wordt en we met positieve gehele getallen werken).
4n=35 x 7 + 5.3 – 109 = 136; n = 34.
t34 = 123+33 x 4 = 255 (5x51); t35 = 123+34 x 4=259 (7 x 37).

De cyclus herhaalt zich blijkbaar na 34 termen, anders gezegd: het 5-voud en het 7-voud zijn steeds de 34ste en de 35ste term van een reeks van 35 termen. Dat dit niet gold voor de eerste reeks komt doordat deze kennelijk nog voorafgegaan wordt door vijf negatieve termen. Inderdaad zijn de twee termen daar weer voor (-21 en -25) deelbaar door 7 resp 5.


TAAL

Er is dezer dagen heel wat te doen rond taal. Daar zijn dan de studenten aan de PABO, die niet kunnen talen en rekenen. Daar zijn ook de allochtonen, die niet kunnen lezen en schrijven, of in hun vertoog stiekem lidwoorden weglaten omdat die in hun thuistaal ontbreken. Daar zijn de politici, die lege zinnen en loze gedachten formuleren of zoals onze minister-president, in een soort steno spreken en niet zijn te verstaan. En er zijn geen grote schrijvers meer nu Toon Hermans en Karel Reve niet meer leven. De grote schrijvers zijn niet alleen dood en begraven, ze zijn ook nog uitgestorven. Waar zijn tegenwoordig schrijvers als Vestdijk, auteurs van het niveau van Couperus? Er zijn zelfs geen kleine schrijvers meer, de Bomansen, de Carmiggelts, allemaal uitgestorven en tot de prehistorie veroordeeld. Er is geen aanwas van nieuwe, verrassende auteurs. Niet dat die zich niet aandienen. Dat wordt een hele grote, wordt er dan gefluisterd, let maar op! Maar je hoort er later niets meer van.

Taalvaardigheid valt uiteen in spreekvaardigheid en schrijfvaardigheid. Nu wordt wel beweerd dat de huidige generatie van de zogeheten jongeren (de rillingen lopen ons over de rug bij het woord alleen al) spreekvaardiger is dan de vorige, maar dan wordt spreekvaardigheid verward met brutaliteit. Brutaliteit mag dan van alle tijden zijn, maar vroeger hield je je gedeisd, en je zei u tegen een ouder en door het leven gelooid iemand. Draaide zo iemand zich om, dan zei je binnensmonds: "Ouwe lul!" want de vorige generaties waren net zo gluiperig als de tegenwoordige.

Wat nu dat andere aspect, de schrijfvaardigheid betreft, het gebrek hieraan treedt genadeloos aan het licht door de nieuwe media, waarin communiceren niet beperkt wordt tot een brief met een postzegel erop. Dat soort brieven wordt trouwens niet meer geschreven en het is een wonder boven wonder dat de PTT of hoe die tegenwoordig heten mag, althans als postbedrijf nog bestaat. Dat tekort aan schrijfvaardigheid wordt niet alleen veroorzaakt door de geringe kwaliteit van het onderwijs maar verklaart tot op zekere hoogte ook de geringe aanwas van literair talent wier werk het lezen waard is en waarover het onder een goed glas en een prettige sigaar gezellig nakeuvelen is.

Het ontbreken van genoemde vaardigheden viel ons eens te meer op toen in het zomerseizoen door de AVRO des zaterdagmiddags literaire programma's uit de Jaren 60 werden herhaald: Gomperts die Gerard van het Reve en Harry Mulisch interviewde. Niet dat die gesprekken geheel te volgen waren maar de zinsbouw was beeldend en de uitspraak – ook een verschil met tegenwoordig – meer dan voortreffelijk. Eigenlijk is de klad erin gekomen toen in de Jaren 80 Adriaan van Dis met Hier Ben Ik op de televisie verscheen niet voor niets ingeluid door You talk too much van Joe Jones.