schrijf!

T & R jrg. 2006 aflev. V
terug

REKENEN

Over ons vraagstuk uit de laatste twee afleveringen:

Wat is het kleinste getal, dat bij deling door 5 een rest van 4 overlaat, door 7 een rest van 6 en door 19 een rest van 14?

wordt opgemerkt, dat de door ons in eerste instantie aangegeven methode (met onbepaalde vergelijkingen) nog vereenvoudigd kan worden als we de laatste vergelijking volledig oplossen:

35d+34 = 19c+14 of 19c = 35d +20.

35d+20 is een 19-voud, en als we een 19-voud met een 19-voud verminderen houden we een 19-voud over. We trekken er het grootste 19-voud af, dat mogelijk is, dus 19d+19 (in feite delen we door 19 en schrijven alleen de rest op). Het resterende 19-voud heeft natuurlijk niet dezelfde waarde als het eerdere 19-voud, dus geven we er een andere letter aan:
19p = 16d +1.
Dit rekent al weer een stuk makkelijker, maar het kan nog eenvoudiger:
16d = 19p – 1. 19p – 1 is een 16-voud; we kunnen hiervoor schrijven:
16e = 3p – 1.
Als we 19p -1 door 16 delen en de rest is te klein om gedeeld te kunnen worden, blijft die rest staan, zie het volgende voorbeeld:
26 : 5 = 5 rest 1 evenals (25+1) : 5 = 5 rest 1.

Voor 16e = 3p -1 schrijven we 3p = 16e + 1; 3q = e + 1, waaruit gemakkelijk q =1, e = 2.
Terugrekenend vinden we dan p = 11, dus d = 13. Dan is 19c = 35 x 13 + 20 = 475, zodat het gezochte getal 19c + 14 = 489 moet zijn. Deze methode lijkt bewerkelijk, maar voert recht op het doel af en met zoeken en puzzelen gaat ook veel tijd verloren. Wat we hier inderdaad doen is de in de vorige aflevering besproken algoritme van Euclides (spr. uit ui klíé des) voor de berekening van de GGD toepassen door het kleinste op het grootste "getal" te delen, de rest weer op het kleinste, enz., dus

19c – 35d = 20 of 19c = 35d + 20
35 : 19 = 1 rest 16 (19p = 16d+1)
19 : 16 = 1 rest 3 (16d = 19p-1 → 16e = 3p-1)
16 : 3 = 5 rest 1 (3p = 16e+1 → 3q = e+1)
3 : 1 = 3 rest 0. De laatste, van 0 verschillende rest is de GGD (in dit geval dus 1).

Uit die verrukkelijke verzameling "Fundamenteel Rekenen" deel 11 A nog de volgende vraagstukken:

Welk getal van 2 cijfers wordt 411 groter als men er een 6 achter plaatst?

Noem het getal 10a + b en het nieuwe getal 100a +10b + 6, dan is dus
90a+9b = 405 of 10a + b = 45, zodat het getal 45 is; 456 – 45 = 411.

Men kan dit ook proefondervindelijk doen door de aftrekking als volgt voor te stellen:

       a b 6

     -   c d

       4 1 1 

Op de plaats van d moet een 5 komen, op b dus ook een 5, dan moet c 4 zijn evenals a.

Men plaatst achter een getal het cijfer 7 en krijgt nu een getal, dat 1933 groter is dan het eerste. Welk getal is dat geweest?

We hebben 1000a+100b+10c +7 – (100a+10b+c) = 1933 dus
900a+90b+9c=1926 of 100a+10b+c=214 dus het getal was 214.

Een leerling moet een getal met 72 vermenigvuldigen, maar vergeet in te springen. Zijn uitkomst is 6237. Wat had de uitkomst moeten zijn?

6237 is in dit geval de som van een 2-voud en een 7-voud dus moet deelbaar zijn door 9; dan is het bovenste getal onder de eerste streep 2 x 693 = 1386 en getal daaronder 7 x 693 = 4851; de uitkomst had dus 1386+48510 of 72 x 693 = 49896 moeten zijn. Een heerlijke nadenksom!

Iemand moet een getal met 63 vermenigvuldigen. Hij verwisselt de cijfers van de vermenigvuldiger. 't Goede en 't verkeerde antwoord zijn samen 499653. Wat is het vermenigvuldigtal?

Dus 63a + 36a =499653; a=5047. Deze was simpel.

A heeft fl. 58 meer dan B. Hoeveel gulden moet A aan B geven, opdat hij nog maar fl. 4 meer heeft dan B?

Niet 54 gulden, zoals men allicht geneigd is te denken, maar de helft daarvan, 27 gulden. A legt 58 op tafel; ze hebben nu evenveel. Zou hij 58 aan B geven, dan zou die nu 58 gulden meer dan A hebben, en is de situatie precies omgekeerd als aan het begin. Hij verdeelt dus die op tafel liggende 58 gulden in 31 en 27, houdt zelf 31 en geeft 27 gulden aan B.

Twee jongens Jan en Piet vertrekken hetzelfde ogenblik uit Den Haag voor een wandeling naar Leiden. Jan legt elk uur 5 km af en Piet elk uur 5½ km af. Na enige tijd is Jan nog 2 km en Piet nog ½ km van Leiden verwijderd. Hoe groot is de afstand van Den Haag tot Leiden?

Als ze de poorten van Leiden naderen, heeft Piet 1½ km meer afgelegd dan Jan, en aangezien hij per uur ½ km meer aflegt, is hij 3 uur onderweg, zodat de afstand Den Haag-Leiden
3 x 5½ km + ½ km = 17 km groot is.

Iemand heeft 500 mensen aangenomen, om in een half jaar een werk af te maken. Na 4 maanden werken is echter nog slechts 1/3 deel klaar. Hoeveel arbeiders moet hij er nu bij nemen, om het werk op tijd klaar te hebben?

Als na 4 maanden 1/3 = 2/6 is voltooid, dan zal na 6 maanden 3/6 voltooid zijn door 500 man. Aangezien 500 man in 2 maanden 1/6 doen, zijn voor de overige 3/6 dus nog 3 x zoveel, zijnde 1500 man nodig.


TAAL

Het onderwijs, en wij zijn niet de enigen die zulks betoogd hebben, is niet meer wat het geweest is. Hoe bedroevend het niveau van de leerlingen is, die de lagere school, de huidige basisschool hebben doorlopen, wordt iedere zondagavond weer bewezen in de Achmea Kennisquiz. 12 als "bollebozen" en "kanjers" aangeprezen domoren strijden dan om de prijs van de minst domme brugklasser (dat is dus iemand die in de eerste klas van het vervolgonderwijs zit) wiens tekort aan kennis op allerlei terrein wordt beloond met een computer. Drie tot de eindronde doorgedrongen domoren worden dan ondervraagd op hun specialisme. Zo'n specialisme wordt bijvoorbeeld "wiskunde" genoemd, wat echter gewoon rekenen is. Als antwoord op de vraag naar de hoofdstad van Italië gaf een "specialist" in de aardrijkskunde te kennen, dat dat Portugal is. Een andere specialist, nu op het terrein van geschiedenis, plaatste de Hongerwinter in de Gouden Eeuw. Tot het foutloos schrijven van een willekeurig woord zijn ze vrijwel geen van allen in staat, zoals keer op keer blijkt. Het boekje: "De domste Antwoorden van de Achmea Kennisquiz" zou een bestseller worden.

Nu wordt het kennisniveau van de leerlingen voor een groot deel door de kwaliteit van het onderwijs bepaald, dus het bericht, dat het met het niveau van de leerkrachten in het basisonderwijs treurig is gesteld, en dat deze niet in staat zijn eenvoudige rekensommen op te lossen of al evenmin over een aanvaardbare beheersing van de Nederlandse taal beschikken, zoals we in de couranten hebben kunnen lezen, komt geenszins als een verrassing, al werd het direct door PABO-directeuren, die in feite niet meer zijn dan kapitein op een modderschuit, tegengesproken. Daarom moeten de studenten (vroeger was je gewoon kweekscholier) met ingang van dit jaar tijdens hun eerste studiejaar een toets afleggen om hun vaardigheid in taal en rekenen te bewijzen, een toets die ze overigens nog een paar maal mogen overdoen, dus een toelatingseis is het niet. De resultaten tot nog toe stemden niet vrolijk.

De Telegraaf meldde op 11 oktober 2006, dat "van de eerstejaars pabostudenten die een rekentoets hebben afgelegd, 48 procent moet worden bijgespijkerd. Ze zijn gezakt voor de toets die dit jaar voor het eerst is afgenomen. Dit heeft de koepelorganisatie van de hogescholen, de HBO-raad, woensdag bekendgemaakt. Negen van de tien (87 procent) eerstejaars die een vwo-diploma hebben, slaagden. Voor havisten en mbo'ers liggen die percentages op respectievelijk 58,5 en 33. De HBO-raad meldt dat deze gegevens zijn gebaseerd op de toetsresultaten van 60 procent van de eerstejaars pabostudenten. Begin november leggen de laatste studenten de rekentest af."

Dit probleem speelt al jaren, want 4 jaar terug, op 7 november 2002 meldde het Algemeen Dagblad dat "aspirant-leerkrachten in het basisonderwijs heel slecht zijn in rekenen en taal. Dat blijkt uit de toetsen die ze in het eerste jaar van de pedagogische academies (pabo's) moeten maken. Circa 70 procent van de eerstejaars studenten op de pabo maakt reken- en spelfouten die kinderen in de hoogste klas van de basisschool niet meer mogen maken. Het merendeel van de studenten faalt voor de toets en haalt pas na bijlessen alsnog het vereiste niveau. Propedeuse-coördinator Jürgen Memelink van de Theo Thijssen Academie in Utrecht noemt dit percentage 'bizar hoog'."

Het schijnt, dat de/het CITO, die/dat ook een soort eindtoets verzorgt voor het basisonderwijs, thans ook een toets voor PABO-scholieren (pardon: -studenten) heeft samengesteld, omdat het toetsen, wat de PABO's naar eigen zeggen de afgelopen jaren voor hun rekening hebben genomen, getuige bovenstaande berichten maar bitter weinig heeft opgeleverd. Ondanks veel kouwe drukte op het internet hebben we noch van de rekentoets, noch van de taaltoets, een editie kunnen vinden, wel willekeurige voorbeelden, maar niet van de toetsen zelf. Ze schijnen geheim te zijn en met zoveel waarborgen omgeven, dat we er niet aan hoeven te twijfelen dat het probleem van de onkunde over vier jaar nog even groot, zo niet groter zal zijn dan nu.