schrijf!

T & R jrg. 2006 aflev. IV
terug

REKENEN

Ons vraagstuk van de vorige keer:

Wat is het kleinste getal, dat bij deling door 5 een rest van 4 overlaat, door 7 een rest van 6 en door 19 een rest van 14?

heeft de nodige reacties opgeleverd. Er schijnt voor dit soort vraagstukken zelfs een algemene oplossing te bestaan: de Chinese reststelling, of in goed Amerikaans: the Chinese remainder problem c.q. Chinese remainder theorem, want het verhaal dat de Oude Chinezen al op hoog niveau wiskunde bedreven Ė de Chinese reststelling dateert al uit 1247 Ė komt evenals de zogeheten moderne wiskunde uit Amerikaanse koker en kan dus gerust cum grano salis genomen worden, want in onze verzamelingen 19de eeuwse Nederlandse algebra-examens komen vraagstukken als deze geregeld voor en lijken ons meer van doen te hebben met onbepaalde vergelijkingen, GGD en KGV dan met genoemde reststelling. Zou er ook een algemene oplossing voor bestaan anders dan met "moderne" wiskunde, die immers in een tekentaal is gevat die voor hen, die niet de geneugten van het "moderne" onderwijs hebben genoten, niet te volgen is en eenvoudige problemen nodeloos ingewikkeld maakt? Kortom, de oplossing die de scholieren uit de tijd van onze vraagstukkenverzameling hanteerden?

We gebruiken als voorbeeld hetzelfde vraagstuk als de vorige keer:

Wat is het kleinste getal, dat bij deling door 5 een rest van 4 overlaat, door 7 een rest van 6 en door 19 een rest van 14?

Met deze Chinese reststelling, die werkt als onderstaande coŽfficiŽnten paarsgewijs ondeelbaar zijn (d.w.z., de G.G.D. = 1) en gebaseerd is op de algoritme (duur woord voor manier van rekenen, berekeningsmethode) van Euclides voor de G.G.D (deel het kleinste op het grootste getal, de rest weer op het kleinste, enz.), loopt de oplossing als volgt:

We hebben:

5a + 4;
7b + 6;
19c + 14.

Schrijf elk van de drie coŽfficiŽnten op en noteer daarnaast het product van de twee overige:

5 en 7 x 19 of 133;
7 en 5 x 19 of 95;
19 en 5 x 7 of 35.

Vermenigvuldig nu de enkele coŽfficiŽnten en het product ernaast met getallen, zodanig, dat de som van de producten 1 is:

-53 x 5 + 2 x 133 = 1;
-27 x 7 + 2 x 95 = 1;
-11 x 19 + 6 x 35 = 1.

Vermenigvuldig de producten van de rechter kolom (266, 190 en 210) met de resten die bij de coŽfficiŽnten van de linkerkolom horen (4, 6 en 14) en tel de resultaten bij elkaar op:

266 x 4 + 190 x 6 + 210 x 14 = 5144.

Deel de som door het product van de coŽfficiŽnten van de opgave: 5 x 7 x 19 = 665. De rest van deze deling, 489, is het gezochte getal.

Op het internet wemelt het van dit soort gekunstelde en ingewikkelde oplossingen. Het behoeft geen betoog dat de duidelijke en elegante oplossing, die in de vorige T&R werd uiteengezet, verre de voorkeur verdient.

Nog een som uit "Fundamenteel Rekenen" deel 11A. Als we ons wel herinneren, ging meester Van der Meer destijds met dit werkje aan de slag met de twee intellectuelen van de klas, Jacques van de drogist en Frank van de politie-inspecteur. Wat er van Jacques geworden is weten wij niet, maar via het onvolprezen internet kwamen wij erachter dat drs. Frank het gebracht heeft tot directeur van een overheidsinstituut, en daarvoor een salaris opstrijkt dat dat van onze minister-president ruimschoots te boven gaat. We hebben aan Frank nauwelijks herinneringen, maar aangezien daar geen negatieve bij zijn, misgunnen wij hem zijn salaris allerminst, ofschoon wij het wel wat hoog vinden, omdat het immers uit belastinggeld is opgebouwd.

Een som, waar Frank vast geen moeite mee gehad zal hebben:

3 pond boter kost evenveel als 5 pond kaas. Als 1 pond boter en 1 pond kaas samen fl. 4,40 kosten, wat kost dan 1 pond boter en wat kost 1 pond kaas?

3 pond kaas en 3 pond boter kosten samen fl. 13,20. Frank vervangt nu 3 pond boter door 5 pond kaas, dus 1 pond kaas kost fl. 13,20 : 8 = fl. 1,65 en 1 pond boter kost fl. 4,40 Ė fl. 1,65 = fl. 2,75. Wij kopen iedere week ca. 1 kilo jonge kaas en die kost 3,98 euro, dus 1 pond kost 1,49 euro, d.i. fl. 3,28. Dus in 50 jaar maar 2 x zo duur geworden! Valt dus eigenlijk best mee met de euro.


TAAL

Dat we taal ook kunnen gebruiken om uiting te geven aan gevoelens van onvrede, weten we allemaal. Laten wij onze ergernis dit keer eens loslaten op een tweetal stellingen:

1. Er is een relatie tussen de economie en het weerbericht.

2. Iedere werkgever heeft twee maal zoveel werknemers in dienst als het personeelsbestand aangeeft.

Als de communist Jan Marijnissen het Nederlandse Verzet in de Tweede Wereldoorlog ongestraft kan vergelijken met terreurbewegingen als Hamas en Hezbollah, dan vinden wij de opvatting dat onze regering in feite niets anders is dan een bezettingsmacht, zoals de Duitse bezetting in de Tweede Wereldoorlog, meer gerechtvaardigd. Deze regering int onder dreiging met geweld belastinggeld als vergoeding voor diensten als bescherming en beveiliging, welzijn en welvaart, maar legt geen enkele verantwoording af voor de besteding daarvan en doet denken aan een crimineel, die beweert op onze fiets of auto gepast te hebben en daarvoor geld eist. Het hoeft dan ook geen verwondering te wekken, dat de regering trots is op het wanbeleid, waarvan we de afschrikwekkende resultaten de afgelopen 30 jaar hebben kunnen zien. Zo stelt zij bijvoorbeeld met grenzenloze brutaliteit dat zij een beleid voert, dat er toe geleid heeft, dat de economie weer groeit.

Nog los van de vraag, waarom "de economie" altijd maar moet groeien (vermoedelijk om de almaar stijgende belastingen te rechtvaardigen) heeft de regering er evenveel invloed op als het KNMI op het weer. De economie, waarvan niemand precies weet wat het is en waarvan de definitie even vaag is als die van God of van kunst, is afhankelijk van internationale grilligheden Ė als er al een afhankelijkheid bestaat, kijk er de non-verklaringen voor stijgende of dalende beurskoersen maar op na - en niet van binnenlands beleid.

Evenmin als de economie zich laat sturen, is het weerbericht te voorspellen. Maar evengoed verschijnt Erwin Kroll iedere dag op TV alsof hij het weer persoonlijk heeft uitgevonden. Hij heeft 50% kans dat hij goed zit, en dat is al heel wat meer dan in de staatsloterij als die nog bestaat. Hij zit trouwens vaker fout dan goed maar we hebben hem nog nooit excuus horen aanbieden voor zijn foute beloftes. Net als de regering die beloftes ook nooit nakomt. De overeenkomst is dus dat beide, de regering en het KNMI, pronken met bekwaamheden, die ze niet bezitten.

De enige constante factor in het beleid van de regering is het verspillen van belastinggeld. Als de regering zegt naar meer werkgelegenheid te streven, dan voert zij een politiek die in strijd is met haar eigen beleid. Zij doet immers niets anders dan werkgelegenheid vernietigen. Voor iedere werknemer heeft een werkgever twee man (m/v) in dienst, de werknemer en de overheid. De ene 50% is het nettoloon van de werknemer, de andere 50% gaat naar de belastingdienst om het niet-werkende (uitkeringen en subsidies) en werkende maar niet-productieve deel van de bevolking (ambtenarenapparaat) te bekostigen. En dan hebben we het nog niet eens over zorgtoeslag, huursubsidie en kinderopvangkosten. Menigeen, zelfs tweeverdieners, ontvangt daarvan meer dan een ander maandelijks aan salaris binnenhaalt. Enfin, u begrijpt het. De werkgelegenheid is al lang verplaatst naar lagelonenlanden. Zo'n dubbel salaris is niet meer op te brengen voor een werkgever. Nederland is inmiddels ook een lagelonenland. Netto dan.