schrijf!

T & R jrg. 2006 aflev. III
terug

REKENEN

Wat is het kleinste getal, dat bij deling door 5 een rest van 4 overlaat, door 7 een rest van 6 en door 19 een rest van 14?

Opl.:. We beperken ons in het volgende tot positieve, gehele getallen. Het gezochte getal is een zoveel-voud + een rest; te schrijven als 5a+4, 7b+6 of 19c+14, wat in feite de formules van een drietal rekenkundige reeksen zijn waarin a, b en c als rangnummers van de termen dus gehele positieve getallen voorstellen en de coëfficiënten van a, b en c de verschillen tussen de termen. De vraag luidt dan: wat is de eerste term, die deze drie reeksen gemeen hebben? Van de eerste twee reeksen kunnen we de gemeenschappelijke term als volgt vinden: 5a+4 = 7b+6. Volgens de theorie van de onbepaalde vergelijkingen laten we de term met de laagste coëfficiënt in het linkerlid en de rest in het rechterlid: 5a = 7b + 2 en dan is 7b+2 een vijfvoud. Zoek het laagste vijfvoud door voor b gehele positieve getallen te substitueren, zodat we al snel 30 vinden voor b = 4, dus a = 6. 5a+4 = 34 en 7b+6 = 34, zodat de zesde term uit de eerste reeks en de vierde uit de tweede de eerste gemeenschappelijke termen, nl. 34 zijn.

We gaan nu deze twee reeksen vervangen door een gecombineerde, die voldoet aan de voorschriften, waaruit de eerste en tweede reeks zijn gevormd, dus die bij deling door 5 resp. 7 als rest 4 resp. 6 overlaat. We weten, dat het product van 5 en 7 zowel deelbaar is door 5 als 7, en dat 34, door deze getallen gedeeld, rest 4 c.q. 6 heeft. De formule luidt dan 35d + 34 (waarin d = ranggetal, van de eerste term is dat 0), immers (35d+34)/5 = (7d + 6) rest 4 en (35d+34)/7 = (5d + 4) rest 6. De eerste term, 35d heeft rest 0 terwijl 34 rest 4 of 6 oplevert. Zo is het volgende getal, dat bij deling door vijf 4 overlaat en door zeven 6 69. Vervolgens vergelijken wij deze formule met die van de derde reeks en lossen deze vergelijking op volgens de aangegeven methode.
Uit 34+35d=19c+14 of 19c = 35d+20 of 35d+20 is een 19-voud volgt na enig speurwerk 35d+20 = 475; 35d = 455; d = 13; c = 25.
Proef: 19c+14 = 489. Gedeeld door 5 rest 4. Door 7 rest 6. Door 19 rest 14.
5a+4 = 489; 5a= 485; a = 97. 7b+6 = 489; 7b = 483; b = 69.

N.B. Het vergelijken van de eerste met de tweede en derde formule en de tweede met de derde om overeenkomsten te vinden leidt soms tot een oplossing, maar in ons voorbeeld niet: 5a+4=7b+6; 5a = 7b+2; 7b+2 is 5-voud; b = 4 en a = 6
5a+4=19c+14; 5a=19c+10; 19c+10 is 5-voud; c = 5; a = 21
7b+6=19c+14; 7b=19c+8; 19c+8 is 7-voud; c=4, b = 12.
5a+4 = 34 en 109
7b+6 = 34 en 90
19c+14 = 109 en 90
Maar 34 voldoet niet aan 19c+14; 90 niet aan 5a+4 en 109 niet aan 7b+6.

Uit dat verrukkelijke meesterwerkje Fundamenteel Rekenen deel 11A nog de volgende opgaaf:

A kan een werk doen in 12 dagen en B in 16 dagen. Na er samen 2 dagen aan gewerkt te hebben, vertrekt B. Dan werkt A 1 dag alleen, waarna C hem komt helpen. A en C maken het werk nu af in 5 dagen. In hoeveel dagen kan C het hele werk alleen doen?

Opl.: A doet iedere dag 1/12 van het werk en B 1/16, zodat ze na 2 dagen 2 x 7/48 = 14/48 = 7/24 af hebben. De derde dag komt er voor A 1/12 bij en is 9/24 = 3/8 klaar. Nog 5/8 te doen in 5 dagen. A heeft hierin een aandeel van 5/12, dus C 5/8 – 5/12 = 5/24. C kan het hele werk dus alleen doen in 24 dagen.


TAAL

Reve

Het zijn wel schrijnende tijden. Gerard Reve was nauwelijks temidden van frietdampen en katholieke wierookgeur in een onbetekende uithoek van België ter aarde besteld of bekend werd dat Harry Mulles, wiens werk volgens Reve "niks als vulles" is, volgend jaar januari (waarom zo lang gewacht, Mulisch is ook niet meer van de jongste) door de Universiteit van Amsterdam bedacht zal worden met een ere-doctoraat. Niet wetend in de wat vonden wij, zoekend op het internet, dat in 2005 Drs. P. aan de Landbouwuniversiteit van Wageningen, nu ja, Wageningen, nu ja, universiteit, een eredoctoraat in de landbouwwetenschappen is toegekend wegens zijn lied over knolrapen, lof, schorseneren en prei, als het tenminste geen 1 aprilgrap was (het leven is één aprilgrap), dus zoveel stelt een dergelijke promotie ook weer niet voor. Dr. Mulisch, 't is wat … nu ja, hij heeft een mooie boekenkast waarin o.m. het driedelige Meyers Kleines Konversations-Lexikon prijkt, dus toe maar… Enfin, als Reve 'm had gekregen, was dat helemáál geen porem geweest.

Maar goed, Gerard Reve was eigenlijk allang uitgeschreven. De Avonden was natuurlijk geweldig, alhoewel bij herlezing eigenlijk helemaal niet zo geweldig als we altijd gedacht hadden, Boslowits, Nieland en Grootvader mochten er ook wezen, en daarna misschien nog een enkel verhaal als Lof Der Scheepvaart, maar dan had je 't wel gehad. Eigenlijk was v.h. Reve al uitgeschreven in 1956, toen v. Oorschot het "Verzameld Werk" uitgaf en dat was in geen enkel opzicht voorbarig, want alles wat nadien kwam, haalde niet bij wat v.h. Reve voordien had geschreven. Zelfs Sjaak Hubregtse, de zelf-benoemde bibliograaf van Reve kreeg er na het zoveelste brievenboek tabak van, en kwam zij het wat laat tot het inzicht, dat te beginnen bij Op Weg Naar Het Einde (1963), een even pakkende als veelzeggende titel, het werk van Reve was aangevreten door gemakzucht en commercialisering. Enfin, Reve is dood want hij leeft niet meer. Dat boek kan ook weer worden dichtgeslagen.

Trainerstaal

Welke trainer is tegenwoordig nog van staal? Michels was 't. Daarna een hele reeks imitatie- en would-be-Michelsen, zoals Jan Wouters en laatst nog Dennie Blind die het niet waren. Beiden net als Michels middelmatige voetballers, maar niet iedere middelmatige voetballer is een uitstekende trainer. Integendeel: Cruijff was een topvoetballer, maar als trainer kon hij toch niet echt potjes breken. Ja, kampioen van Spanje worden met Barcelona. Met zulk duur spelersmateriaal kunnen Wouters en Blind dat ook. Het valt ons trouwens op, dat individuele spelers, anders dan vroeger, kampioen worden genoemd of cupwinnaar terwijl ze een teamsport bedrijven. Alsof ze die beker in hun eentje gewonnen hebben.

Clarence Seedorf won al drie keer de Champions League …

Ploeggenoot Jaap Stam won in 1999 de belangrijkste prijs uit zijn loopbaan. Met Manchester United versloeg hij in blessuretijd alsnog Bayern Munchen met 2-1 …

Maar je leest nooit eens: Frank Rijkaard, gedegradeerd bij Sparta. Wel: Frank Rijkaard wint hoofdprijs. Beker met grote oren voor Frank Rijkaard. Alsof hij met tafelvoetbal bezig is. Terwijl hij niets anders doet dan langs de zijlijn, voortdurend naar zijn hok teruggedreven door de vierde official, wijzen en op zijn vingers fluiten. De vraag is, of de spelers hem überhaupt zien…

Albert Verwey zei het al zo ongeveer: "De taal des trainers is me een vreugd altijd". "Hun" hebben en "enigste" geven al aan dat de oefenmeesters het Nederlands onvoldoende onder de knie hebben, terwijl taal toch het eerste zo niet enigste communicatieinstrument is, om hun bedoelingen kenbaar te maken. Hoewel… hoeveel spelers op de Nederlandse velden zijn tegenwoordig nog Nederlander onder de Nederlanders, die de taal verstaan, laat staan spreken, om niet te spreken van schrijven… Hoewel … Cruijff schijnt ook een Nederlander te zijn, maar is hij te verstaan in de betekenis van te begrijpen?

Hier stuiten wij op een merkwaardig verschijnsel in des trainers vocabularium. Spelers worden geacht bij hun achternaam aangeduid te worden. Als een verslaggever de trainer vraagt: "Behoort de heer Seedorf ook tot de geselecteerden voor de komende match tegen Argentinië?", dan zou de trainer vreemd opkijken. De betrokkene is niet meer dan een naam op een schoolbord en dat is een achternaam. Maar desgevraagd en vreemd genoeg wordt in het antwoord de betreffende speler door de trener nader met diens voornaam gespecificeerd. Dat gebeurt echter zo consequent, dat het op een cursus aangeleerd lijkt:

Journalist: "Larsson was in deze wedstrijd heel belangrijk, niet?" Trener: "Henrik is een heel populaire speler, ook in de kleedkamer. Ik vind het jammer dat Henrik na dit seizoen naar Zweden teruggaat, maar dat heeft hij zijn gezin nu eenmaal beloofd."

J.: Jansen speelde een prima wedstrijd, toch?
T.: Piet was vooral in de tweede helft de beste man van het veld."

Hier zou nog niets mis mee zijn, ware het niet, dat deze handelwijze ook bij onuitsprekelijke achternamen en onbegrijpelijke voornamen wordt gebezigd, alsof het om twee verschillende personen gaat:

J.: "Marovitsj heeft een heerlijke voorzet in huis. Is daar speciaal op getraind?"
T.: "Gnomar heeft een gouden linkervoet en dat is een van godgegeven talent. Dat heb je, of dat heb je niet."

J.: "N'Kolonpala ging over de schreef, maar de scheids bedacht hem slechts met geel. Heb je hem er daarom uit voorzorg uitgehaald?"
T.: "Nee, want Barumbalonko gaf al aan, dat hij last had van zijn hamstrings en dan moet je voorzichtig zijn, dan is zo'n jongen er zo vier weken uit als het misloopt."