schrijf!

T & R jrg. 2005 aflev. III
terug

REKENEN

En van de vraagstukken, die voor het schriftelijk algebraexamen van de HBSB in 1963 werden opgegeven, luidde aldus:

4. Van de reeks t1, t2, t3, ..., tk, is tk = k 16 + 2 √(k 10)2 en is Sk de som van de eerste k termen; S1 = t1.

a. Voor welke waarden van k is tk negatief?
b. Druk Sk in k uit.

Opl.: De reeks is t1 = 116+2 √(1 10)2 = 3; t2 = 2; t3 = 1, dus kennelijk een dalende rekenkundige reeks tot en met de 10de term (t10 = 6) met het verschil 1; en vanaf de 11de term (t11 = 3) een klimmende rekenkundige reeks met het verschil +3. Als men de 10de term (-3) ziet als eerste van de tweede reeks, dan overlappen beide reeksen elkaar daar. De anomalie van twee reeksen binnen n formule wordt veroorzaakt door de afspraak, dat we altijd de positieve wortel kiezen, ook al is deze in feite negatief. Eigenlijk is de reeks -33, -30, -27 ... als we zouden kiezen voor √(1 10)2 = - 9 enz.

a. k 16 + 2 √(k 10)2 < 0 dus 2 √(k 10)2 < 16 k of
4(k 10)2 < 256 32k + k2 of 3k 48k + 144 < 0 of
(3k 12)(k 12)< 0 waaruit 4<k<12 wat slechts opgaat als (k 10) positief of 0 is en dat is voor alle waarden van k het geval, zodat de gevonden oplossingen van de ongelijkheid voldoen. De vorm is dus negatief voor alle in dit geval gehele, want k is als index een positief geheel getal - waarden tussen 4 en 12, zijnde de termen 5 t.e.m. 11.

b. De som van de eerste 10 termen (we moeten ergens k behouden om die in de somformule
S = n (a + l) te kunnen uitdrukken) zou met toepassing van de formule voor de laatste term
l = a + (n-1)v kunnen luiden k(3 + 3 + (k-1).-1) = k(7-k) en die voor de tweede reeks (die we bij de 10de term laten beginnen) k(-6 -6 + (k-1).3) = k (3k 15). Nu berekenen we met deze laatste formule bijv. de som van 4 termen, te beginnen bij de 10de term, dus
t10 + t11 + t12 + t13 = -6 -3 +0 +3 = -6, ingevuld in de formule .4(3.4 15) = 2 . 3 = - 6. Daar dan nog de som van de voorgaande 9 termen bij opgeteld (- 9), zodat het totaal van de eerste 13 termen -15 luidt. Willen we echter het werkelijke aantal op te tellen termen invullen, dus 13 schrijven i.p.v. 4, dan moeten we die 13 nog met 9 verminderen; al met al luidt de formule dan:
(k 9){3(k-9) 15} 9 of k(3k 69) + 180 voor k ≥ 10.
We vinden weer .13(39-69)+180 = -195 + 180 = -15. Hadden we de tweede reeks bij de 11de term laten beginnen dan was de formule
k(-3 -3 + (k-1).3) = k (3k 9) of 1k(k-3). Daar nog -15 als som van de voorgaande 10 termen bij: 1k(k-3) 15. Voor k schrijven we k -10 zodat
1 (k-10)(k-13) -15 = 1 (k2 -23k +130) -15 = 3/2k2 69/2k +195 -15 =
1k2 34k + 180 voor k > 10, dezelfde formule als hierboven dus.

Zou het ook in n formule kunnen?
Van de wortelvorm moeten we alleen de positieve wortel hebben (van de eerste 9 termen is deze immers eigenlijk negatief):



    t1 = 1  16 + 2 .|1  10|  = 1  16 + 2. | - 9|

    t2 = 2  16 + 2. |2  10| =  2  16 + 2. | - 8|

    t3 = 3  16 + 2. |3  10| =  3  16 + 2. | - 7| 

    ....

Het probleem is de som van de reeks -9, -8, -7 .... -2, -1, 0, 1, 2, 3 enz. waarbij het minteken van de negatieve termen vervalt. De oorspronkelijke som is:
Sk = k{-9 + -9+(k-1).1} = k(k 19). Geldt het de som van de eerste 9 of 10 termen dan zouden we die som met -1 moeten vermenigvuldigen, en er voor de volgende nog het positieve totaal van de eerste groep aan toe moeten voegen, afhankelijk van k. De "min" zouden we uit een factor (k-9) kunnen halen als factor in de somformule. Van de eerste 9 termen is het product dan steeds negatief of nul, en van de volgende positief. Nu moeten we k-9 in onze formule opnemen, zonder dat het resultaat van de som veranderd wordt.
We delen daartoe k2-19k (" " laten we even weg) door k-9, stuiten op een rest van -10k, dat gedeeld door k geeft -10, zodat we k2-19k met -10 maal 9 = 90 aanvullen en als quotient k-10 vinden.
Hoe plaatsen we beide factoren nu in onze formule? Aldus:
k(k-19) = (k2-19k) = (k2-19k+90-90) = {(k-9)(k-10)-90} = (k-9)(k-10)-45. Voor de eerste 9 termen dus -(k-9)(k-10)+45 (maal "min") en voor de volgende termen
(k-9)(k-10)-45+90 (want de som van de eerste 9 termen is 45 en moet +45 zijn, dus moeten we er nog 90 bij optellen). We hebben dan:
-(k-9)(k-10)+45 of (k-9).-(k-10)+45 voor de eerste 9 termen en (k-9)(k-10)+45 voor de 10de enz. In n formule moet dan de eerste term negatief zijn dan wel positief, afhankelijk van k. Nu is
|k-10| = -(k-10) als (k-10) < 0 en |k-10| = k -10 als (k-10) > 0; we schrijven daarom:
(k-9)|k-10|+45. Het product van de factoren van de eerste term is dan negatief voor de eerste 8 termen, 0 voor term 9 en 10, en positief vanaf term 11. De volledige formule luidt dan:
k(k-31) + 2{(k-9)|k-10|+45} = k2 15k + 90 + (k-9)|k-10|.

Meer een puzzel voor een regenachtige namiddag dan een examenvraagstuk. Aan de lezer de opgave: Bepaal de algemene formule voor de som van de reeks 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 .....


TAAL

Sancta Musica

Aan de mening van wijlen J.J. Klant, verdienstelijk econoom (wat we niet kunnen beoordelen, wat is dat trouwens, economie, waarschijnlijk net zo iets als kunst, iedereen voert er het hoogste woord over, maar niemand weet wat het is) en meer-dan-verdienstelijk schrijver van surrealisties werk (we hebben alles op dit terrein van hem gelezen) hechten wij zeer. Maar we zijn het niet altijd met zijn kritiek eens. In een literair tv-programma van de VPRO in de jaren 60, gepresenteerd door wijlen W.F. Hermans, kraakte hij een roman van wijlen Jan Mens ("Op liefdes lichte voeten", het vervolg van "Koen") tot de grond toe af, terwijl dat werk toch heus wel meeviel. Daarentegen had hij volgens een artikel in "Vrij Nederland" een bijzonder hoge pet op van de auteur F. de Sinclair, van wie niemand volgens hem ooit gehoord had en in het bijzonder van diens roman "Sancta Musica".

Nu hebben wij wl gehoord van F. de Sinclair (1873-1953), wiens vroege werk, gellustreerd met de zwart-wit-prentjes van Chris Kras (= jhr. Jan Feith, 1874-1944, bekend van wr andere boeken, die wij hier, gelet op tijd en ruimte, maar buiten beschouwing laten), waarin een zekere Meneer Focus een hoofdrol speelt, zeer wel kunnen waarderen; het latere werk echter (en De Sinclair, eigenlijk heette hij v.d. Feen, schreef nadien nog minstens 50 romans) is van een zodanige beknepenheid, is zo een-en-al klisjee, zo verschrikkelijk 20er en 30erjaren-achtig, dat er maar n plaats voor was: de papierbak bij het winkelcentrum in onze buurt. "Meneer Focus" had ons bedrogen: "De bridgeclub van Oom Sorry", "Om Papa's Principe", "Het loon der braven", "Baron Selderie", "De driedubbele vrouw", we hadden ze aangeschaft n gelezen, maar hoefden ze niet meer. Zou "Sancta Musica" dan z anders zijn?

Op het onvolprezen internet kwamen wij deze door Klant zo hogelijk geprezen roman tegen, hebben deze besteld n gelezen. Maar het was van hetzelfde laken een pak als de latere, "humoristische" romans van "De Sinclair", de huiselijke ongein van papa's en pipa's, de jongedameshumor van de Betsy's en de Mientjes, kortom, het verschil tussen hogere en lagere lectuur kon niet duidelijker worden aangetoond. Anders gezegd, literatuur staat tot lectuur als Vestdijk staat tot De Sinclair. Wat zou de heer Klant, scherp criticus volgens Hermans in genoemd televisieprogramma, bezield hebben?

F. de Sinclair: Sancta Musica. Tweede druk. Amsterdam, Van Holkema & Warendorf (z.j., ca 1925; oorspr. 1913).

De C van Carolus

Schijn bedriegt. Dat weten wij inmiddels maar al-te-goed. Ooit bezaten wij een jongensboek van bovengenoemde titel: dat was nog eens een spannend boek! Ook weer via internet, dat daarvoor niet genoeg te prijzen valt, hoewel, de vreugde om iets dat met moeite (of toeval) verworven wordt is groter dan wat we naar wens op bestelling kunnen aanschaffen, kwamen wij in het bezit van dit werk. Ja hoor, het bandontwerp herkenden wij nog! Maar de inhoud bleek volledig uit ons geheugen verdwenen. Erger nog: de C van Carolus was lang niet zo spannend als we ons dachten te herinneren. Het gaat om een knaap van 13 jaar, die samen met zijn broer een diamantroversbende oprolt, en de politie daar zoveel mogelijk buiten laat, al vliegen de kogels hun om de oren, en dat in een tijd, dat de politie nog niet uit huilebalken, zwezeriken en weekdieren bestond. Het is bovendien erg onlogisch: de vader, de broer en de buurman beschikken over wapens, stellen zich op als officier van justitie c.q. rechter wanneer een door hun personeel gevatte stroper of gauwdief aan hen wordt voorgeleid, en geven de veldwachter bevelen (en sigaren). Op de diefstal van fazanteneieren staat een gevangenisstraf van 5 maanden, iets wat je tegenwoordig nog niet voor een moord krijgt, al kijk je nog zo bloeddorstig. Het is ook nog racisties: een wilddief wordt gekarakteriseerd als: "een Zigeunertype met een wrede mond en onbetrouwbare ogen" (al is "Zigeunertype" dan ook met een hoofdletter geschreven). Het geboefte draagt geestig bedoelde namen als Pokmans of Puister, de veldwachter heet niet vergeefs Oorlam en de humor aan de eettafel is Sinclairiaans:

"Ik vraag toch niets?" zei Vader, niet helemaal consequent, waarop Henk zich verslikte.
"Henk!" vermaande Moeder.
"Die jongen schrokt altijd zo," merkte Elly op. "Wat een manieren die de tegenwoordige jeugd er op na houdt!" Haar stem was precies die van oud-tante Cecilia. Henk hoestte nog heviger.
"Elly toch!" waarschuwde Moeder.

Enfin, als de misdadigers zijn neergeschoten en Carolus zelf ook bijna in de strijd is gebleven, is het boek uit.

Toch vallen niet alle boeken van vroeger zwaar tegen. De avonturen van kouboy Rio Kid bijvoorbeeld, waarover eerder in T & R een aanzet tot een volledige bibliografie werd gegeven (wij komen t.z.t. met de nodige aanvullingen), zijn nog onverkort en onverminderd spannend, hoewel de herinnering verkleurt. Maar voor de C van Carolus (daarmee merkt hij gestolen eieren en twijfelachtige auto's) geldt dat helaas niet.

B. Helderman: De C van Carolus. Een avontuurlijke geschiedenis voor oudere jongens en jongere ouders. Uitgave Jeugdfonds "Romantic" Holland, z.j. (gelet op de spelling en het papier ca. 1947).