schrijf!

T & R jrg. 2005 aflev. II
terug

REKENEN

Iemand vertrekt 's morgens om 5 uur uit A naar B. Toen (sic!) hij de helft van den weg heeft afgelegd, passeert hem de spoortrein, die te 8 uur 20 min. uit A vertrokken is; een uur later ontmoet hij een trein, te 9 uur uit B naar A vertrokken. Indien de afstand van A tot B 40 KM bedraagt, vraagt men de snelheid van den trein en den wandelaar te bepalen. Eindexamen H.B.S. met 5 jarigen cursus 1877.

N.B. Bestudering van de opgave leidt tot de vaststelling dat de treinen dezelfde snelheid hebben (welke trein wordt immers bedoeld) anders ontbreekt een gegeven en krijgt men drie vergelijkingen met vier onbekenden.

Oplossing: Verrukkelijke vraagstukken zijn dat toch, die over inhalen en ontmoeten, over afgelegde weg en snelheid, we hebben ze al eerder aan den lezer voorgelegd en nog kunnen wij er niet/geen (wat is het eigenlijk?) genoeg van krijgen. Ook in dit geval maken wij gebruik van de wonderformule s = v.t. De opgave bevat eigenlijk twee vraagstukken, het eerste van de soort "inhalen" (dus uit dezelfde richting gelijktijdig ergens aankomen) en het tweede van de soort "ontmoeten" (uit tegengestelde richting gelijktijdig op hetzelfde punt aankomen). Bij de soort "ontmoeten" is het dan meestal de bedoeling dat beide afstanden worden opgeteld; samen vormen ze de totale weg. Maar eigenlijk gaat het om hetzelfde, bij "ontmoeten" kan men de afgelegde wegen ook naast elkaar leggen in plaats van in elkaars verlengde en bij "inhalen" kan men de afstanden tegenover elkaar plaatsen.

Het eerste vraagstuk luidt dus: Een trein (= trein 1) en een wandelaar komen gelijktijdig uit A in C aan (afstand AC = 20 KM) terwijl de wandelaar 3 1/3 uur eerder uit A is vertrokken. Wat was hun snelheid? Als voor de wandelaar geldt:
20 = v1.t1
dan geldt voor de trein, die over hetzelfde stuk 3 1/3 uur korter doet
20=v2(t1 -3 1/3).
(v1 en v2 zijn de verschillende snelheden).

Het tweede vraagstuk luidt: Een wandelaar vertrekt van A naar B (afstand: 40 KM) en ontmoet een uur nadat hij 20 KM heeft afgelegd een trein (= trein 2), die om 9 uur 30 van B naar A is vertrokken; wat was hun snelheid?
Op het moment van de ontmoeting geldt voor de wandelaar (v1 is wat de wandelaar in n uur aflegt):
20 + v1 = v1.(t1 + 1)
en voor trein 2:
40 - (20+v1) = v2(t1 + 1 4). De trein heeft 4 uur minder nodig om het ontmoetingspunt te bereiken dan de wandelaar.

We hebben dan 4 vergelijkingen met 3 onbekenden waarvan de oplossing luidt (het uitrekenen, wat overigens nog lastig genoeg is, laten wij aan de lezer over): v1 = 5 km/h, v2 = 30 km/h en t1= 4 uur.


TAAL

Of toch rekenen? Want daar gaat tenslotte Kanarie-Boekje No. 185 over: "Zo kunt U sneller rekenen" door J.B.J. Spaan, een uitgave van N.V. Maandblad Succes in Den Haag en Antwerpen, en zoals alle Kanarie-Boekjes ("U kunt goochelen en toveren" "Zo leert U Jiu Jitsu" - "Het woord voeren" "Betere kiekjes maken") z.j. (in dit geval vermoedelijk ca. 1950) en 64 bladzijden tellend. Het boekje is geschreven in de glasheldere Kanarie-Boekjestaal die ook bekend is uit andere Succes-edities, zoals de reeks "Universiteit voor Zelfstudie" ("Panorama der natuur-, schei-, wiskunde en mechanica" "Doeltreffend spreken en schrijven" "De roman van de sterrenhemel"). In het algemeen is de Taal in al die uitgaven luchtig, en de benadering van de behandelde onderwerpen oppervlakkig. De delen van de "Universiteit voor Zelfstudie" (aangeprezen als een "middelbare opleiding in uw leunstoel") zijn, hoewel in kloeke banden gevat, eigenlijk niet meer dan uitvergrote Kanarie-Boekjes en of er ook maar iemand is geweest die er een schooldiploma mee heeft gehaald, is twijfelachtig. Evenmin of iemand na het raadplegen van een Kanarie-Boekje de zwarte band heeft verdiend of anderzijds veel nut heeft gehad van de vele deugden en adviezen die de op de leest van Amerikaanse psychologie geschoeide boekjes aanbevalen. Een uitzondering vormt, wat de "Universiteit voor Zelfstudie" betreft, de "Vreemdewoordentolk" van Mr. E. Schotman, een meer dan voortreffelijk woordenboek dat op zijn terrein jarenlang zijns gelijke niet gekend heeft. Maar dit terzijde.

De tijd heet De Jaren Veertig/Vijftig. Op de Lagere School, zoals die toen nog bescheiden heette, werden nog volop belangrijke vakken als Aardrijkskunde & Geschiedenis en Taal & Rekenen onderwezen. Gewoon in het Nederlands. We weten hoe het sindsdien is gegaan. De naamgeving van de scholen, vakken en onderwijzend personeel is zich omgekeerd evenredig gaan verhouden tot het niveau van de lesstof. Lager is lager dan ooit maar heet Voorbereidend Middelbaar, onderwijzers zijn "leraren" en "wiskunde" is gewoon rekenen, maar dan zo makkelijk-mogelijk natuurlijk. En de taal waarin wordt lesgegeven, is soms ook nog Engels of wat daarvoor door moet gaan.

Hoe anders was dat destijds. Toen moest er flink gesappeld en gebikkeld worden, ja, gereden, zoals men ook wel zei. Afzien, zouden we nu zeggen. Nemen wij eens het rekenen. Je had cijferen. Je had hoofdrekenen. Je had vraagstukken over inhalen en ontmoeten, die de huidige "leraren" niet eens meer zouden kunnen oplossen. Kortom, een handig hulpje als ons Kanarie-Boekje kon je wel gebruiken. Bij het hoofdrekenen bijvoorbeeld. Of bij het maken van strafwerk. De onderwijzer liet je dan na schooltijd "vormsommen" maken gebaseerd op algebra. Dit laatste wist je natuurlijk niet. Was je klaar, mocht je weg. Dat was dan laat ons zeggen:


          36508 x 36508  23546 x 23546

                      60054 

of nog erger. Vr ons in de bank zat ene Jan-Jaring Elshout, een beroepsrekel van de ergste soort, met wie we overigens wonderwel konden opschieten. Hij is nog eens bij ons thuis geweest, en ging toen op het kruishout onder de grote etenstafel in de voorkamer zitten, dat voor stabiliteit moest zorgen. Het kruishout zei prompt "knap!" en sindsdien beefde de tafel tot zijn laatste ademtocht als een rietje, wanneer er wat werd opgezet. Jan-Jaring had een abonnement op nablijven en omdat iedere fout in de berekening van de enorme vermenigvuldigingen maakte dat je alles over moest doen als de "som niet uitkwam" (want de deling moest opgaan) bleek hij te beschikken over een controlemiddel, dat hij van zijn vader had geleerd, die boekhouder was. Maar hij was niet te beroerd om ons in te wijden in het geheim. Toen de "meester" even zijn hielen had gelicht, waarschijnlijk om zich te buiten te gaan aan de juffrouw van het lokaal ernaast, draaide Jan-Jaring zich om en vroeg of wij "de negerproef" wel kenden? We vermoedden een grol van Jan-Jaring in een tijd dat er van racisme nog geen sprake was, maar hij bleek volkomen ernstig en wij zijn toen op de hoogte gebracht van de "negenproef", die ons, tot wij ontdekten hoe we tot het antwoord van de vormsommen konden komen zonder er voor te hoeven vermenigvuldigen en delen (we schreven dan maar wat op want de meester ging het natuurlijk toch niet narekenen), enige tijd van nut is geweest.

Genoemde negenproef (mogen wij voor de werking naar T & R jaargang 3 aflev. 4 verwijzen) komt ook voor in ons Kanarie-Boekje. Maar er staan niet zoveel slimme rekentrucjes in als wij verwacht hadden. Zo circuleerden er in onze lagereschooltijd vloeibladen die enerzijds reclame maakten voor het een of ander maar tevens interessante weetjes bevatten zoals over de eerste onderzeeboot (van Cornelis Drebbel) of over ... rekentrucjes, jazeker. Zoals over het product van twee getallen waarvan de tientallen gelijk zijn en de eenheden samen 10; bijv. 42 x 48. Vermenigvuldig de tientallen met elkaar, maar neem voor een van de factoren het naasthogere getal (dus 5 x 4 in plaats van 4 x 4) en schrijf daarachter het product van de eenheden (2 x 8), zodat 42 x 48 = 2016. Zo is 69 x 61 = 4209, 53 x 57 = 3021 enzovoorts. Ons boekje geeft dit wonder slechts voor kwadraten eindigend op 5, zoals 55 x 55 = 3025 maar dat is natuurlijk het halve werk. Op het vloeiblad verder producten als 49 x 51 = 50 x 50 1, of 68 x 72 = 4900 4, een toepassing van (a+b)(a-b). Ook dit kunstje ontbreekt in ons boekje.

Misschien kunnen we maar beter direct zeggen wat er wl in staat. Hoe u 29 x 36 uitrekent. 30 x 36 36 is het. Dat is natuurlijk geen trucje maar hoofdrekenen. Afronden. De negenproef. 35 x 35. Opzoeken in tabellen. Optellen en aftrekken. Kenmerken van deelbaarheid. Verkort delen. Buitenlands geld. Renteberekeningen. Shillings and pounds. Maten en gewichten. Valuta's. Algebrasche formules. Rentetabellen.

De titel van het boekje kenden wij al jaren, maar het was ons nog nooit gegeven van de inhoud kennis te nemen. Helaas bevat het niet de wondere inhoud, waar wij gezien de spannende titel sinds onze schooltijd op gehoopt hadden. Het boekje is dus niet zozeer een handig hulpje bij het hoofdrekenen, alswel een uitgebreid gedeelte van een zakagenda. Niet voor niets was - en is nog steeds - "Succes" de uitgever van de beroemde "Succes"-agenda....