schrijf!

T & R jrg. 2005 aflev. I
terug

REKENEN

Een der vraagstukken van het algebra-examen van de HBS-B in 1963 luidde als volgt:

2. Gegeven is de functie f(x) = x + √(8-2x).

a. Los x op uit f(x) > 2ス.
b. Bereken de uiterste waarden van f(x).

a. Los op: x + √(8-2x) > 2 ス.

Voorwaarde is dat de wortelvorm bestaat, dus dat 8-2x ≥ 0, of x ≤4.
√(8-2x) > 2ス-x.

Het linkerlid is altijd positief of nul. Zo is bijv. √9 ook -3, maar volgens afspraak verstaan we onder √9 alleen 3. Dan hebben we de volgende mogelijkheden:

1e. Beide leden zijn positief. Dan mogen we ook beide leden kwadrateren, immers als 5 > 3, is 25 > 9. Extra voorwaarden x<4 en 2ス -x > 0 of x < 2ス dus samen x < 2ス. Er komt:

                         25 - 20x + 4x2

                8 - 2x > 覧覧覧覧覧覧

                               4

32-8x > 25-20x+4x2
4x2 - 12x - 7 < 0
(2x+1)(2x-7) <0
x > - ス of x < 3ス.

Wanneer we de vergelijking √(8-2x) = 2ス -x oplossen, vinden we, na kwadratering, de wortels - ス en 3ス . 3ス is wel een wortel van
8-2x = (2ス -x)2 (wortels - ス en 3ス, 8+2.ス = (2ス + ス)2 en 8-2.3ス= (2ス - 3ス)2)
maar niet van
√(8-2x) = 2ス -x (wortel -ス, √(8+2.ス) = 2ス + ス maar √(8-2.3ス ) ≠ - 2ス - 3ス). Dat komt, doordat bij kwadratering het minteken verdwijnt. 3ス heet dan "ingevoerd". Dat geldt ook voor de "nulpunten" van ongelijkheden. In dit geval houden we dus alleen x>- ス. Samen met x < 2ス is dat - ス <x<2ス.

2e. Het linkerlid is positief, en het rechterlid is 0. Alleen mogelijk als x = 2ス.

3e. Het linkerlid is 0, dan is het rechterlid negatief. Alleen mogelijk als x = 4.

4e. Het linkerlid is positief, en het rechterlid is negatief, d.w.z. x<4 en x>2ス , dus 2ス <x<4.
Als 3 >2, is 9 >4, maar als 3 > -5 is 9 < 25. Kwadrateren betekent
- f 32-8x >25-20x+4x2 (zoals in geval 1) met x > -ス , samen met x< 4 en x>2ス dus
2ス <x<4, - f 32-8x < 25-20x+4x2 met x < - ス , wat niet binnen de voorwaarden ligt, zodat alleen overblijft: 2ス <x<4. Dat is ook logisch, want het rechterlid wordt bij kwadratering positief en is dus niet gelijkwaardig met de oorspronkelijke vorm.
We hebben dan:
-ス <x<2ス.
x = 2ス.
x=4.
2ス < x <4.

Alles aan elkaar gepast dus - ス < x ≤ 4.

N.B. De opgave was een stuk simpeler geweest als er had gestaan: √(8-2x) < 2ス -x !

b. Bereken de uiterste waarden van x + √(8-2x) en teken de grafiek.

Als we in een spreadsheet een reeks waarden invullen zien we al snel dat de functie een maximum heeft van 4ス voor x = 3ス, waarna de waarde daalt en er voor x < 4 is geen waarde meer is, aangezien het getal onder de wortel negatief wordt. De grafiek is een vrijwel rechte kromme die de x-as snijdt in -4, de y-as in 2,8 en dan in het punt (x = 3,5, y = 4,5) naar beneden ombuigt om bij (x =4, y=4) te eindigen.

De maximum functiewaarde kunnen we berekenen door ons een rechte evenwijdig aan de x-as voor te stellen, die de curve in twee punten snijdt. Verplaatsen we die naar boven, dan naderen de snijpunten elkaar en vallen ten slotte in de top samen. Evenals bij de kwadratische functie, waarvan de grafiek de x-as raakt, geldt dan voor de vergelijking van de grafiek dat D = 0 (twee gelijke "wortels"). Noemen we de vergelijking van de snijlijn c.q. raaklijn aan het top y=m, dan is ook
m = x +√(8-2x). Dit kunnen we schrijven als
m-x =√(8-2x) of
m2-2mx+xイ = 8 - 2x of
xイ-(2m-2)x+m2-8=0, dus
4m2-8m+4-4m2+32=0; 8m=36; m=4ス. y = 4ス waaruit x = 3ス, ofwel het absolute maximum van de functie is 4ス voor x = 3ス, terwijl er een relatief minimum is van 4 voor x=4 (af te leiden uit 8-2x ≥ 0 of x ≤ 4; dat opgeteld bij de x die er nog voor staat = 4). In de latere "moderne wiskunde" wordt dat laatste een "randminimum" genoemd, maar of deze aanduiding heeft standgehouden weten wij niet.

Het berekenen van extremen kan ook eenvoudig geschieden met behulp van differentiaalrekening, waarvan de eerste beginselen destijds op de HBS-B werden behandeld.


TAAL

Er is weleens dispuut geweest, of het Nederlands nog wel toekomst heeft en of het dan nog zin heeft, in het onderwijs in deze taal te "investeren". Dit aan de managementwereld ontleende anglicisme weerspiegelt een gedachte die het Nederlands al voorbij is en die de laatste jaren steeds meer ingang vindt. Het Nederlands kan maar beter worden vervangen door het Engels, is de heersende opvatting. Nederland voelt zich bij gebrek aan historisch besef in alles zo klein dat het zich schaamt voor de eigen taal. Is het wel een taal en niet meer een uit de krachten gegroeid dialect? Neen, dan het Engels. Het Engels wordt in Nederland zo vreselijk belangrijk gevonden, dat de waardering voor de eigen taal erbij verbleekt, wat te merken is aan de steeds geringere beheersing van het Nederlands door de Nederlanders zelf (internet, e-mail), en het almaar toenemend gebruik van Engelse kreten - want meer is het meestal niet - die het gebrek aan uitdrukkingsvaardigheid in het Nederlands moeten verbloemen.

Het is niet zo, dat er sprake is van een voorbijgaand verschijnsel of een ongenteresseerde stellingname dat er toch niets aan te doen is, omdat taal een levend fenomeen is, dat zich voortdurend vernieuwt. Eerst was er minister Ritzen (PvdA) die vond dat colleges aan de universiteiten maar in het Engels moesten worden gegeven, om buitenlandse studenten te behagen. De invoering is inmiddels in volle gang. Let eens op de argumenten van hen die vr Engelstalige colleges zijn: "De internationalisering van het onderwijs noopt ertoe" of "De studenten kunnen dan in het buitenland makkelijk aan de slag". Dat zijn geen argumenten, maar drogredenen om kritiek de pas af te snijden.

Maar ook in het middelbaar en lager onderwijs wordt aan onze taal gemorreld. Het middelbaar onderwijs heeft er zelfs het TVWO-diploma voor verzonnen dat te "behalen" valt op 75 scholen of schoolgemeenschappen. Let wel, Engels is dus voertaal en Nederlands, zoals te lezen valt op sites van die scholen, "hulptaal". Zelfs op sommige basisscholen, zoals in Rotterdam, blijkt al tweetalig (Nederlands en Engels) onderwijs te worden "aangeboden". En niet alleen in de hoogste klassen, neen, aan kleuters uit groep l en 2 (dat zijn kinderen van 4 en 5 jaar). Met spelletjes en liedjes. Sluipenderwijs dus. Het is typerend dat de argumenten van de voorstanders weer dezelfde strekking hebben als hierboven: dat het "volkomen in lijn is met internationale afspraken", dat "tweetalig onderwijs in het buitenland heel normaal is" (behalve in Engeland en Amerika dan) en meer van dat soort geloofsartikelen.

Zoals gebruikelijk ontstaat er pas beroering als het in de krant komt en de politiek ervan nauwelijks op de hoogte blijkt dat deze misstand, want dat is het, al jaren bestaat. Gelukkig wordt er nu vanuit de Tweede Kamer initiatief ontplooid door CDA en CU: men komt met een voorstel om de grondwet te wijzigen om het Nederlands een beschermde status te geven (AD 1 febr. 2005). Alleen is de argumentatie zo mogelijk nog vozer dan hierboven: voor allochtonen wordt het nu ng moeilijker om Nederlands te leren want nu moeten ze er ook nog Engels bijdoen...

Nu is Engels wel een mooie taal zij het met een gebrekkige literatuur vergeleken bij bijvoorbeeld het Duits. Maar de verengelsing van het Nederlands is eigenlijk veramerikaansing, gepropageerd door de media, of de politiek haar hervormingen nu door de strot of door de aars wil duwen. Vooral de buitenlandse correspondenten in Amerika stichten onnoemelijk veel kwaad met de invoer van amerikanismen. Wij constateerden de volgende nieuwe, rechtstreeks uit het Amerikaans vertaalde spreekwoorden:

- over de eigen schaduw heen stappen/springen;
- achter de feiten aanlopen;
- jezelf in de voet schieten;
- de kaarten tegen de borst houden;
- op de handen zitten.

Maar er zijn natuurlijk grenzen hoewel die tegenwoordig weinig meer voorstellen. Uitverkoop heet tegenwoordig "sale". Die van onze taal is helaas niet gebonden aan een bepaalde periode.