schrijf!

T & R jrg. 2002 aflev. I
terug

REKENEN

In 1963 werd voor het schriftelijk examen MULO-A o.m. het volgende algebra-vraagstuk opgegeven:

Gegeven: 2x-y = p en 2x+y = q. Bereken 24x en 26y.

De eenvoudigste methode is om x c.q. y te elimineren door pq en p/q te berekenen:

pq = (2x-y)(2x+y) = 2x-y+x+y = 22x waaruit 24x = (22x)2 =p2q2 .

Evenzo vindt men

p : q of 2x-y-(x+y) = 2x-y-x-y = 2-2y zodat 26y = (2-2y)-3 = p-3: q-3 = q3: p3.

Dit laatste veronderstelt echter kennis van oneigenlijke machten, wat niet tot het A-programma behoorde; "probeert" (want anders is het niet) men van begin af aan q : p in plaats van p : q dan stuit men niet op deze moeilijkheid. De vraag is echter, of men dit inzicht van A-kandidaten mag verlangen.

Men kan ook de volgende weg bewandelen:

Uit 2x-y = p volgt 2x = p.2y en uit 2x+y = q volgt 2x = q : 2y, dus
p.2y = q : 2y of p.2y.2y=q of 22y= (q : p) dus
26y = (q3 : p3). En uit
2x-y = p volgt ook 2y = (2x : p) en uit 2x+y = q ook 2y = (q : 2x), dus
2x : p = q : 2x of
22x = pq (kruislings vermenigvuldigen) of
24x = p2q2.

----------

In 1953 werd voor het examen HBS-B o.m. volgend algebra-vraagstuk aan de candidaten ter oplossing voorgelegd:

De termen van de oneindig voortlopende rekenkundige reeks 596, 594, 592, ....
verenigt men op de volgende wijze tot groepen:
(596); (594, 592); (590, 588, 586); ....
De k-de groep bevat dus k termen.
Bepaal het rangnummer van de eerste groep, waarin een negatief getal voorkomt.

Oplossing: Het verschil is -2; de eerste negatieve term is ook -2; volgens de formule
tn=a+(n-1)v, ingevuld -2=596+(n-1).-2 is dat de 300ste term. Het volgende schema geeft de rangnummers van de termen in de groepen aan:

g1 1
g2 2; 3
g3 4; 5; 6
g4 7; 8; 9; 10
g5 11; 12; 13; 14; 15
g6 16; 17; 18; 19; 20; 21
..........
gn ..... 300 ........

Bestudering van dit schema levert op dat de eerste term van een groep gelijk is aan de som van de groepsrangnummers tot de betrokken groep + 1; zo is de 1ste term van groep 4 (7) gelijk aan 1+2+3+1; de laatste term van een groep is gelijk aan de som van de groepsrangnummers t.e.m. die groep; zo is 10 (laatste term van groep 4) gelijk aan 1+2+3+4; 21 (laatste term groep 6) 1+2+3+4+5+6, enz.
Dan zal 300 zich volgens de somformule S= n(a+tn) tussen de eerste term van groep n, zijnde
(n-1)(1+n-1)+1 en de laatste term van groep n, zijnde n (1+n) moeten bevinden, aldus:
(n-1)(n)+1≤ 300 ≤ n (1+n) of
n2- n + 1 ≤ 300 ≤ n + n2.
De linker ongelijkheid levert:
n2- n + 1 ≤ 300 of n2- n + 2 ≤ 600 of n2- n -598 ≤ 0 wat (ongeveer)
(n+23,96)(n-24,96) ≤ 0 is; dus n ≥ -23,96 en ≤ 24,96; de rechter ongelijkheid:
300 ≤ n + n2 (gelijk aan 300 als dat de laatste term in die groep is) of
n2 + n - 300 of
n2 + n - 600 ≥ 0 of (n+25)(n-24) ≥ 0 waaruit
n ≤ -25 en n ≥ 24. Op twee getallenrechten uitgezet (de linker ongelijkheid bovenaan):

waaruit af te lezen valt dat alleen de waarden tussen 24 (incl. 24 zelf) en 24,96 voldoen, wat alleen 24 kan zijn, m.a.w. -2 zit in de 24ste groep (en is toevallig net de laatste term in die groep).

Men zou ook kunnen zeggen dat het rechter gedeelte van de ongelijkheid in feite al voldoende is: 300 bevindt zich in de n-de groep en de laatste term van de n-de groep is n + n2. Dan is
300 ≤ n + n2 (gelijk aan 300 als dat de laatste term in die groep is) of
n2 + n - 300 of n2 + n - 600 ≥ 0 of (n+25)(n-24) ≥ 0 waaruit n ≤ -25 en n ≥3 24, waarvan alleen 24 voldoet, dus de 300ste term (-2 dus) bevindt zich in de 24ste groep. De eerste term van de 24ste groep is volgens onze formule
n2- n + 1 277, de laatste 300, toevallig net onze term.

We hadden ook kunnen uitgaan van de formule voor de eerste term: dan is
n2- n + 1 ≤ 300 of n2- n + 2 ≤ 600 of
n2- n -598 ≤ 0 wat (ongeveer) (n+23,96)(n-24,96) ≤ 0 is; dus n ≥ -23,96 en ≤ 24,96 wat we gemakshalve uitleggen (de negatieve waarde vervalt) als: nog net niet in de 25ste groep.

Meer dan een opgave lijkt dit een puzzel; beter was geweest de groepen zo te kiezen dat de eerste negatieve term ergens middenin stond; laten we een simpel voorbeeld nemen: we beginnen bij 22 i.p.v. 596 (dat 596 is natuurlijk zo gekozen om te voorkomen dat men al die getallen gaat opschrijven om zo het antwoord te vinden of daar naartoe gaat rekenen). We hebben dan:

22
20; 18
16; 14; 12
10; 8; 6; 4
2; 0; -2; -4; -6.

g1 1
g2 2; 3
g3 4; 5; 6
g4 7; 8; 9; 10
g5 11; 12; 13; 14; 15
Hier is -2 = 22 + (n-1).-2 met n =13; -2 is de 13de term; 13 ≤ n + n2; n2 + n - 26 ≥ 0 met (ongeveer)
n ≤ -5,6 en n ≥3 4,6; verder is
n2 - n + 1 ≤ 13 waaruit -4,42 ≤ n ≤ 5,52. Dus ligt n tussen 4,6 en 5,52 in en dat kan alleen de 5de groep zijn.


T & R's Raadsels

Een boef zit in het gevang. Daar zijn twee uiterlijk gelijke deuren: een leidt naar buiten, de andere naar eeuwigdurend kerkerschap. Voor elke deur staat een bewaker: de een liegt altijd en de ander spreekt altijd de waarheid. De boef, die niet weet wie van de twee de leugenaar is, mag aan n van hen n vraag stellen om er achter te komen achter welke deur de vrijheid wacht. Als hij uit het antwoord de juiste conclusie trekt is hij vrij. Welke is die vraag? (oplossing in het volgende nummer).