schrijf!

T & R jrg. 2017 aflev. 4
terug


Rekenen

1. Een rechthoekig veld, lang 2940 meter en breed 990 meter, wordt door 3 sloten in de lengte en 3 in de breedte in 16 gelijke rechthoeken verdeeld, waarvan de lengte gelijk is aan driemaal de breedte. Hoe breed is elke sloot, als ze alle even breed zijn?

Opl. Denken wij ons de sloten alle aan de kant, dan schiet een stuk land over, waarvan de lengte en breedte zich ook verhouden als 3 : 1, evenals lengte en breedte van elk van de 16 stukken. Daar van lengte en breedte van het land evenveel afgaat voor de sloten, nl. 3 maal de breedte van een sloot, is het verschil tussen lengte en breedte van het overblijvende land ook 2940 – 990 = 1950 meter.
Blijkens het voorgaande is de breedte van dit land de helft van het verschil tussen lengte en breedte; derhalve is de breedte 1950 : 2 = 975 meter. De breedte van het hele land is 990 meter, dus 3 maal de breedte van een sloot 990 – 975 = 15 meter en de breedte daarvan 5 meter.

2. A en B gingen elkaar tegemoet en vertrokken op hetzelfde ogenblik, A uit P en B uit Q. Na verloop van enige tijd was A nog 5 km van Q verwijderd, terwijl B 12 km meer dan de helft van de weg had afgelegd. Hoe ver waren zij toen van elkaar verwijderd, als men weet, dat A 5½ en B 5¼ km per uur aflegde?

Opl. Als beide personen nog 5 / 5½ = 10/11 uur lopen, is A in Q. B heeft dan afgelegd de helft van de weg + 12 km + 5¼ / 5½ x 5 km = de helft van de weg + 16 17/22 km. Als A de hele weg aflegt, legt B af 5¼ / 5½ = 21/22 van de weg. Dus is de helft van de weg + 16 17/22 km even groot als 21/22 van de weg of 10/22 van de weg is 16 17/22 km en de hele weg 36,9 km. B is op het bedoelde ogenblik van Q verwijderd ½ x 36,9 + 12 = 30,45 km, dus van A 30,45 – 5 = 25,45 km.

3. Uit P vertrekt op een morgen om 8 uur met een snelheid van 5 km per uur een ruiter en om 10 uur vertrekt er weer een in dezelfde richting met een snelheid van 8 km per uur. Om hoe laat zal de tweede ruiter 1,5 maal zo ver van P zijn, als hij nog van de eerste ruiter verwijderd is?

Opl. Als de tweede ruiter vertrekt, heeft de eerste reeds 2 x 5 = 10 km afgelegd. Wat hij tot het gevraagde ogenblik nog verder aflegt is 5/8 van hetgeen de tweede ruiter dan gevorderd is, want de snelheden van de ruiters staan tot elkaar als 5 : 8. Volgens het gegeven heeft de eerste ruiter in het geheel 5/3 maal zoveel afgelegd als de tweede. Dus is 5/3 – 5/8 = 25/24 van hetgeen de tweede ruiter vordert 10 km of deze legt in het geheel af 24/25 x 10 = 9,6 km. Per uur vordert hij 8 km, dus is hij 9.6 : 8 = 1,2 uur of 1 uur en 12 minuten in beweging. Hij vertrekt 10 uur; het gevraagde ogenblik is derhalve 12 minuten over 11.

4. A en B kunnen samen een werk afmaken in 17 1/7 dag, A en C samen in 18 dagen. Eerst werken A en B enige dagen samen, daarna A en C samen 3 dagen, vervolgens C 9¼ dag, waarna A en B hem het werk in 2 dagen helpen voltooien. A en B hebben nu samen 41 gulden en C 19 gulden verdiend. Hoeveel geld heeft B ontvangen?

Opl. C heeft 3 + 9¼ + 2 = 14¼ dag gewerkt en dan 19/60 van het geld ontvangen, dus ook 19/60 van het werk afgemaakt. Hij kan derhalve het werk afmaken in 60 /19 x 14¼ = 45 dagen. A en C maken samen per dag 1/18 van het werk af, C 1/45, dus A 1/18 – 1/45 = 1/30. A kan dus het werk voltooien in 30 dagen. A en B maken samen per dag 7/120 van het werk af, A 1/30, dus B 7/120 – 1/30 = 1/40. B kan dus het werk voltooien in 40 dagen. Als A 3 dagen en C 14¼ dag werkt, is 19/60 + 1/10 = 5/12 van het werk af. A en B moeten dan nog 7/12 doen. Dit doen zij in 7/12 x 17 1/7 = 10 dagen. Aan het slot werken ze 2 dagen samen, in het begin dus 8 dagen.
In het geheel heeft A dus 8 + 3 + 2 = 13 dagen en B 8 + 2 = 10 dagen gewerkt. Het geld, dat zij verdienen, is samengesteld evenredig met het aantal dagen dat zij werken, en het werk, dat zij per dag afmaken. Blijkens het voorgaande verhouden zich dus hun verdiensten als 13 x 1/30 : 10 x 1/40 = 26 : 15. Samen verdienen zij 41 gulden; B dus 15/41 x 41 is 15 gulden.

(Naar diverse opgavenverzamelingen, ca. 1900).


Taal

Meditatie over een spijker

De Nederlandse filosoof en schrijver Cornelis Verhoeven (1928-2001) is meermalen onderscheiden voor zijn werk, onder meer met de P.C. Hooftprijs in 1978. Hij stond bekend als een van de productiefste denkers op het gebied van de Nederlandse taal. Van zijn hand verschenen ruim tachtig boeken, duizenden artikelen, columns en boekbesprekingen. Verhoeven wilde in eerste instantie paus worden, maar stopte halverwege met de priesteropleiding. Hij studeerde uiteindelijk af in klassieke talen. In 1982 werd hij benoemd tot hoogleraar antieke wijsbegeerte aan de Universiteit van Amsterdam. In 1993 aanvaardde hij de leerstoel metafysica en haar geschiedenis. Niet altijd waren de kritieken op zijn werk lovend. Zo maakte Carel Peeters in "Vrij Nederland" gehakt van het "zelfbewuste gemummel" van Verhoeven. Gunstiger werd geoordeeld over zijn (postuum) gebundelde columns in Trouw o.d.t. "Dierbare woorden. Beschouwingen over de woordenschat" (2003). Hieronder een fragment van "Meditatie over een spijker" uit "Het grote gebeuren" (1966).

"Voor mij op tafel ligt een oude, gesmede spijker van zeventien centimeter lang en een halve centimeter breed, met een onregelmatig gevormde kop van ongeveer twintig millimeter; boven op die kop zijn de indrukken te zien van een hamer die hem met vier slagen plat geslagen heeft, zodat er midden op die pokdalige, roestige kop een soort van kruis gevormd is, niet geometrisch correct, maar op goed geluk af en toevallig. Zo is die hele spijker; met archaïsche, maar trefzekere ambachtelijkheid is er een vorm aan gegeven, die hem voor zijn doel geschikt maakt zonder hem ook maar een millimeter van geometrische saaiheid te gunnen. Daarom is er geen tweede spijker zoals deze.

Hij ligt hier nu ontheemd; ik vond hem in een balk op de zolder van mijn ouderlijk huis. Hoever hij in die balk gedreven was, is nog precies te zien; het ijzer is daar minder verweerd en gladder. Daarboven is zijn huid aangevreten door roest; het is een maanlandschap met talloze kraters en schaduwvlekken. Wanneer ik hem met mijn vingers voorzichtig en bewonderend betast, worden die door de interessante oneffenheden telkens weer vertraagd tot de lyrische langzaamheid van de ontwaarde gebruiker. Want die spijker is er niet om bekeken te worden. Hij zal op die zolder door mijn grootvader in de balk geslagen zijn om er een zeis, een dorsvlegel of een haargetouw aan op te hangen, niet om er in vervoering naar te kijken. Ik doe dat nu: dat is de handelwijze van de late estheet of beschouwer. Ik heb de nutteloos geworden spijker uitgetrokken en schoongemaakt. Hij glimt nu zoals de antiquiteiten in de etalages; alles wat zo oud is, is dankbaar voor een laagje was; het krijgt daardoor onmiddellijk een patine van geluk en rust na een waardig bestaan. De spijker is nu een antiquiteit geworden; ik kan mij voorstellen, dat hij in een etalage ligt en dat een snob ernaar informeert. Vroeg stukje ijzer, werk van een anonieme dorpssmid uit het begin van de achttiende eeuw; deze komt op twaalf gulden vijftig.

Spijkers zijn niet om naar te kijken, Maar een feit is, dat er geen tweede spijker bestaat als deze. Als een kunstwerk iets is om naar te kijken, dan heeft deze simpele spijker in elk geval iets heel essentieels daarmee gemeen, namelijk dat hij onverwisselbaar is. En van zijn nuttige functie ontdaan en tot voorwerp van beschouwing gemaakt krijgt hij bovendien de belangeloosheid van het kunstwerk. En hij heeft op het kunstwerk voor dat hij onbetwijfelbaar is. Het kunstwerk heeft door de traditie van de kunstbeschouwing zoveel pretenties meegekregen, zo'n torenhoge bovenbouw van maar aan te nemen waarden en waarheden, dat het bijna alleen al door te verschijnen de weerzin en de scepsis oproept. Een spijker is pretentieloos, maar hij is een zo onomstotelijk en hard ding, dat elke scepsis erop af moet schampen. Aan een kunstwerk kan ik twijfelen; ik kan de hele beschaving waarvan het een laat product is zo vermoeiend vinden dat ik het verwerp. Mijn scepsis kan de supposities eronder wegbreken, zodat het in het luchtledige komt hangen. Maar deze spijker, evengoed het individuele werk van een individuele mens, heeft die supposities niet nodig. Zijn bestaan is even duidelijk als dat van gladde kiezels, hoewel minder elementair. Maar zijn supposities liggen niet in het 'artistieke' vlak met zijn vermoeiende pretenties; zij liggen in het leven zelf.

Die spijker, die ik nu zo mooi vind dat ik hem als een klein kunstwerk besnuffel en betast, wortelt nog in de harde onderlaag van het laboureuze ambachtelijke leven. Al is hij er niet om besnuffeld en beschouwd te worden, maar om door een boer gebruikt te worden, het feit staat onomstotelijk vast, dat hij gezien mag worden; hij hoeft niet verborgen te worden in het technisch substraat, waarop wij ons comfortabel leven leiden. Hij kan zelfs moeilijk voorbij gezien worden, niet alleen omdat hij zo groot is, maar vooral omdat hij op zijn eentje een karakteristieke variatie op het thema spijker is. Van iedere nieuwe fabrieksspijker zijn er miljoenen. Niemand heeft ze gemaakt en niemand ziet er naar om. Hij kan daarom nooit tot voorwerp van beschouwing worden. Hij is op geen enkele wijze een werkstuk en nauwelijks een gebruiksvoorwerp. Waar hij zijn nederige functie vervult, moet hij onzichtbaar zijn; zijn zichtbaarheid zou een dissonant zijn. Ook voor en na zijn functie is hij onzichtbaar, opgeborgen of weggeworpen. Maar deze spijker hier is voor alles een ding op zichzelf. Ook in zijn functie is hij zichtbaar geweest. Hij heeft de harde consistentie van het definitief dingmatige. Er valt met deze dingmatigheid niet te praten. Hij komt niet naar mij toe. Wanneer ik contact met hem wil hebben, dan moet ik uit mijn eenzelvigheid op weg gaan naar de veeleisende autarkie van een stuk ijzer. Door de spijker voor mij te zien, mij erover te verwonderen en hem te betasten overstijg ik mijn eenzelvigheid en begeef ik mij in een wereld die fataal en onherroepelijk anders is dan de plooibare weekheid van mijn ik en alles wat ik vandaar uit maar zou kunnen bedenken. Nu heerst niet meer de mens, maar het andere, het ding, een dichtgeklonterd stuk andersheid, bij het betasten waarvan ik een bevreemding op mijn huid voel, die als een openbaring doordringt naar het rulle nest van de eenzelvigheid. Het is een schok het ding te ontdekken en het is een langdurig proces het op te nemen in mijn wereld. Want het is daar als een voortdurende aanslag op mijn autonomie en mijn eigengerechtigheid, door zijn aanwezigheid, zijn zichtbaarheid alleen. Dat is een ervaring, die het bestaan verrijkt en om deze verrijking tot een bezit te laten groeien, moeten de dingen in hun zichtbaarheid gehandhaafd blijven."